3. Понятие искусственного языка.

Всякий предметный или искусственный язык состоит из следующих компонентов:

1. Алфавит (конечный список исходных символов).

2. Правила построения термов (имен и именных форм).

3. Правила построения формул (высказываний и высказывательных форм).

4. Интерпретации языка.

Пункты 1-3 представляют синтаксис языка; пункт 4 представляет семантику языка.

Искусственный язык является математическим языком и носит исключительно информативный характер. В этих языках используются только повествовательные предложения (высказывания). Формы мышления не представляющиеся повествовательными предложениями в этих языках невыразимы.

Самым простым искусственным языком является язык математической логики первого порядка, [11].

Предметные языки – геометрический и теории множеств считаются более сложными, так как содержат отношения включения и другие, не заданные в языке логики первого порядка.

Искусственные языки делятся по уровням сложности в зависимости от типов отношений, которые они описывают.

Описание свойств моделей в зависимости от уровня языка требует специальных сведений по математической логике [11], которые не входят в круг рассматриваемых нами вопросов.

Мы ограничимся нестрогим анализом текстов некоторых парадоксов, используя лишь понятие модели, совместимости, независимости и категоричности систем аксиом.

4. Понятие парадокса.

Проблема выразимости отражает несоответствие естественного и искусственного языков, а также несоответствие между самими искусственными языками, относящимися к моделям разного уровня сложности. Эти несоответствия мы обнаруживаем в виде различных парадоксов.

Парадоксами будем называть текстовое утверждение, логическое следствие которого приводит к противоречиям.

Мы выделим два типа соответствия между языками моделей.

Первый тип. Согласно выводу 3, § 6, изоморфизм мыслимой модели на некоторою внешнюю модель дает возможность “воспринимать объект” или наоборот, “выражать мысль в виде каких-то внешних отношений”. При этом внешние отношения фиксируются в виде некоторого текста.

Второй тип. Соответствие между языками моделей представляется структурными изоморфизмами.

Рассмотрим текстовые противоречия с точки зрения нарушения одного из двух указанных типов соответствия между языками моделей на примерах известных парадоксов.

5. “Ахиллес и черепаха”.

Понятийный аппарат человеческого разума способен создавать автономные модели. Эти мыслимые модели могут не иметь образов в реальном мире. Противоречие в таком случае снимается исследованием изоморфизма между мыслимой моделью и моделью определенного объекта. Рассмотрим пример.

Апория “Ахиллес и черепаха” принадлежит Зенону из Элен (483-375 гг. до н.э.) и состоит в следующем.

«Легендарный бегун Ахиллес движется в два раза быстрее черепахи. В момент старта черепаха находилась на расстоянии “а” от Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит этот отрезок “а”, то черепаха уползет вперед на расстояние “а”/2. Когда Ахиллес пробежит отрезок “а”/2, то черепаха уползет вперед на “а”/4. Когда Ахиллес пробежит “а”/4, то черепаха продвинется вперед еще на “а”/8 и т.д. Этот процесс бесконечен, и Ахиллес никогда не догонит черепаху».

Апория построена на интуитивном убеждении, что никакие бесконечные процессы завершиться не могут. Именно это и приводит к противоречию. Надо объяснить каким образом рассматриваемый “мысленно” бесконечный процесс все же закончится.

Герман Вейль в началеXX века дал следующее объяснение этой апории. В мыслимой модели существует бесконечная последовательность 1,2,3,...,n,... временных событий (Ахиллес проходит расстояние “а”/2ⁿ) с неограниченно убывающим временным интервалом t_n =1/2ⁿ. Сумма таких интервалов существует и равна 2 ед. времени.

В реальном мире каждая физическая операция требует некоторого времени, которое больше некоторого фиксированного временного интервала. Поэтому всякая бесконечная последовательность физических операций “выполнима” лишь за бесконечный промежуток времени.

Таким образом, в апории «Ахиллес и черепаха» нет изоморфизма между мыслимой и реальной моделями.