- •Математические основы квантовой механики
- •Основные положения
- •Волновая функция
- •ОператорЫ
- •Собственные функции операторА и собственные значения
- •ЭрмитовыЙ оператор
- •Эрмитовость оператора импульса
- •УсЛовия ортонормированности
- •Среднее значение величины
- •СоотношениЕ неопределенностей
- •ОператорЫ трансляции и эволюции
- •Уравнение Шредингера
- •Быстрота Изменения величины
- •Ток вероятности
- •Матрица плотности
СоотношениЕ неопределенностей
Для измерения величины a, описываемой оператором , частица в исследуемом состоянииприводится во взаимодействие с соответствующим прибором. Его состояние, описываемое классической физикой, изменяется. Регистрируем изменение и получаем измеряемую величину. Повторяем измерениеN раз, находим среднее значение и дисперсию
,
.
Если исследуемое состояние совпадает с одной из собственных функций оператора , то результат измерения однозначен и погрешность равна нулю
, .
Для измерения величины , описываемой оператором, используется другой прибор. Еслиикоммутируют, то наборы их собственных функций {Ψn} совпадают, соответствующие измерения совместимы. В состоянии результаты однозначные,, их точность не ограничена.
Если эрмитовые операторы ине коммутируют
, (2.29)
где – эрмитовый оператор (доказательство на практических занятиях), то иимеют разные наборы собственных функций. Измерительные приборы дляа и b несовместимы, действие одного прибора нарушает работу другого. Например, на лекции 1 показано, что при измерении координаты волны используется экран со щелью. Это вызывает дифракцию волны и растет неопределенность импульса. Измерить а и b одновременно с высокой точностью невозможно. В состоянии найдем связь между их флуктуациями, т. е. абсолютными погрешностями:
,
,
где дисперсия по определению среднего равна
,
.
Ограничение коммутатора. Среднее от квадратичной формы эрмитовых операторов ипо любому состоянию Ψ не может быть отрицательным
. (2.30)
Во втором равенстве использована операция эрмитового сопряжения. Упрощаем левую сторону (2.30), учитывая эрмитовость операторов:
.
В результате коммутатор
ограничен
. (2.31)
Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В качестве ивыбираем операторы относительного отклонения от среднего
, , (2.32)
удовлетворяющие
.
С учетом
,
находим
, ,.
Из (2.31) получаем
. (2.33)
Если операторы коммутируют, то ,и измеренияa и b можно выполнить с неограниченной точностью.
Соотношение неопределенностей координата-импульс. Коммутатор
сравниваем с (2.29)
,
получаем
, ,
из (2.33) находим
(2.37)
– чем точнее измеряется координата частицы, тем неопределеннее импульс, и наоборот. Локализация частицы приводит к увеличению неопределенности ее импульса и кинетической энергии. Аналогичная формула была получена в полуклассической квантовой механике.
Соотношение неопределенностей энергия-время. Средняя скорость частицы выражается через путь и время
.
Флуктуация кинетической энергии
,
тогда
.
Учитывая (2.37), находим
(2.39)
– чем точнее измеряется энергия, тем больший промежуток времени необходим для измерения;
– чем уже энергетический уровень δЕ возбужденного состояния, тем больше время его жизни δt.
ОператорЫ трансляции и эволюции
Развитие состояния частицы во времени описывает волновое уравнение Шредингера. Для вывода уравнения используем оператор эволюции, сдвигающий состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.
Оператор трансляции сдвигает состояние объекта на расстояниеа
. (2.44)
Для получения оператора разлагаем в ряд Тейлора
Производную по координате выражаем через оператор импульса , находим
,
где квадратная скобка является разложение в ряд экспоненты. В результате оператор трансляции
. (2.45)
Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля
. (2.46)
Определению (2.46) удовлетворяет
.
Сравнение с (2.45) дает
. (2.47)
Генератором перемещения является импульс.
Оператор эволюции передвигает состояние во времени на τ
. (2.49)
По аналогии с (2.45) записываем
. (2.50)
Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)
.
Генератор эволюции
(2.51)
сравниваем с генератором трансляции (2.46) и по аналогии с (2.47) получаем
,
. (2.52)
Найдем физический смысл . Рассмотрим действиена волну де Бройля
,
описывающую частицу с полной энергией Е. Получаем
.
Это уравнение на собственную функцию оператора , где собственным значением является полная энергия. Следовательно, генератором эволюции является оператор полной энергии, или гамильтониан – полная энергия, выраженная через импульс и координату частицы.