3.1.2. Понятие об уравнении линии на плоскости

1⁰. Полярная система координат. Будем говорить, что на плоскости введена полярная система координат, если на ней выбрана точкаO– полюс, луч, выходящий из полюсаO– полярная ось и масштабный отрезок.

Пусть M– произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсомO(рис.3.4 хх ). Первой полярной координатой точкиM(полярным радиусом) называется расстояние от точкиMдо полюсаO. второй полярной координатой точкиM(или амплитудой) называется уголот полярной оси (луча) до лучаOM. Для точкиOсчитают,– произвольное число.

Из определения полярных координат и их геометрического смысла следует, что

. (3.1)

Значения второй координаты, лежащие в пределах называют главные значением угла.

Замечание. В полярной системе координат нет взаимно однозначного соответствия между точками плоскости и упорядоченной парой чисел (,):(,) соответствует единственная точка плоскости, носоответствует бесчисленное множество пар (,+).

Задать точку Mв полярной системе координат означает задать два числаи:M(,).

Установим связь между декартовыми и полярными координатами (одной и той же) точки M.

Для этого введем оси икак показано на рис.3.5 хх . Масштабный отрезок полярной системыпримем и за масштабный отрезок декартовой системы.

Пусть – декартовы,– полярные координаты некоторой точкиM. Тогда

(3.2)

и обратно,

. (3.2’)

По формулам (3.2) переходят от полярных координат к декартовым, по (3.2’) – от декартовых координат к полярным.

2⁰. Понятие линии и ее уравнения.Понятие линии является одним из самых трудных понятий математики. Общее определение линии дается в топологии (одном из разделов математики). Получено оно было в двадцатые годы прошлого столетия советским математиком П.С.Урысоном.

Здесь мы не будем заниматься определением линии; дадим лишь определение того, что называетсяуравнением линии.

Определение 1. Уравнением линии (обозначают (L), либоL– без скобок) в декартовой системе координат называется уравнение

, (3.3)

которому удовлетворяют координаты всех точеки только координаты таких точек (то есть координаты точек, не лежащих на линииL, не удовлетворяют (3.3) – не обращают его в тождество).

В частности, уравнение линии Lможет иметь вид:

. (3.3’)

Определение 2. Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение

, (3.4)

которому удовлетворяют полярные координаты всех точеки только координаты таких точек.

В частности, уравнение линии Lв полярных координатах может иметь вид:

. (3.4’)

Определение 3. Параметрическими уравнениями линииLв декартовой системе координат называются уравнения вида

(3.5)

где функции иимеют одну и ту же область определения – промежутокT.соответствует точкарассматриваемой линииLисоответствует некоторому значению(то естьтакое, чтоибудут координатами точкиM).

Замечание 1. Аналогично определяются параметрические уравнения линии в полярных координатах.

Замечание 2. В курсе аналитической геометрии (на плоскости) рассматриваются две основные задачи:

1) известны геометрические свойства некоторой линии на плоскости; составить ее уравнение;

2) известно уравнение линии L; построить эту линию, установить ее геометрические свойства.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти уравнение окружностиLрадиусаR, центр которой находится в точке(рис.3.6 хх ).

Замечание. Прежде, чем переходить к решению задачи, сделаем замечание (которому надо следовать и в дальнейшем): решение задачи на определение геометрического места точек начинается с введения произвольной («текущей») точки с координатамиэтого геометрического места.

Решение. Пусть точка– произвольная точка окружностиL. По определению, окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки – ее центра:CM=R. По формуле (2.31) (в ней надо положить) находим:

(3.6)

.– уравнение искомой окружности.

Если центр Слежит в начале координат, тои уравнение

(3.6’)

есть уравнение такой окружности.

Пример 2. Пусть криваяLзадана уравнением:. Построить эту кривую; установить, проходит ли она через точку? через точку?

Решение. Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив в ней полные квадраты:или– это уравнение определяет окружность с центром в точкерадиуса.

Координаты точки удовлетворяют уравнению окружности:– точкаOлежит на окружности; координаты же точкине удовлетворяют уравнению окружности.

Пример 3. Найти геометрическое место точек, отстоящих от точкивдвое дальше, чем от точки.

Решение. Пусть– текущая точка (искомого) геометрического места. Тогдаи из условия задачи пишем уравнение:.

Возведем это равенство в квадрат и преобразуем:

,

,

– искомое место есть окружность с центром в точке и радиусомR=10.

Приведем примеры на определение уравнений линий в полярной системе координат.

Пример 4. Составить уравнение окружности радиусаRс центром в полюсеO.

Решение. Пустьесть произвольная точка окружностиL(рис.3.7 хх ). Тогдаили

(3.7)

– этому уравнению удовлетворяют точки, лежащие на окружности L, и не удовлетворяют точки, не лежащие на ней.

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно полярной оси (рис.3.8 хх ).

Решение. Из прямоугольного треугольникаOAMследует, что– имеем уравнение прямой в полярной системе координат.

Замечание. Уравнение прямой в декартовой системе координат:; подставляяиз (3.2), получимили.

Пример 6. Построить кривую.

Решение. Заметим, что кривая симметрична относительно полярной оси:===. Поэтому если точка, то и точка.

Даем полярному углу различные значения от=0 до=и определяем соответствующие этим углам значения. Запишем это в виде таблицы 1.

Таблица 1.

	0
	2a				a			0

Из точки Oпроводим лучи,,…,,и откладываем на них отрезки,,…,,. Через полученные точки,,…,,проводим плавную линию – получим верхнюю половину кривой. Нижнюю достраиваем симметричным отражением верхней относительно полярной оси.

Полученная замкнутая кривая (рис.3.9 хх ) называется кардиоидой (сердцеобразной).

Пример 7. Записать уравнение линии(равнобочной гиперболы) в полярной системе координат.

Решение. Заменяяxиyпо формулам (3.2), получим, иесть уравнение заданной линии в полярной системе координат.

Пример 8. Записать уравнение кривойв прямоугольной декартовой системе координат.

Решение. Запишем уравнение кривой в виде. По формулам (3.2’) преобразуем его к виду; возводя это равенство в квадрат, после несложных преобразований придем к уравнению– эта кривая называется параболой (см. ниже ).

Пример 9. Приведем пример на параметрическое задание кривой. Пусть дана окружность радиусаRс центром в начале координат и пусть– декартовы координаты текущей точкиM:M. Пусть, далее,– полярные координаты той же точки. По формулам (3.2) тогда

, (3.8)

где параметр tпринимает все значения от 0 до, есть параметрическое уравнение искомой окружности.

Если центр Сокружности взят в точке с координатами, то, как нетрудно показать, формулы

, (3.8’)

дают параметрические уравнения соответствующей окружности.