4.1.3. Конечные пределы функции при и бесконечные

Сформулируйте определение предела функции по Коши и Гейне и отрицание этих определений

а) при ,

б) при , предел− один из символов,

в) при , предел− один из символов.

Дайте геометрическую интерпретацию этих пределов. Приведите примеры функций, имеющих и не имеющих предел в случаях а), б) и в).

Докажите, что если − многочлен степени, то,.

4.2. Односторонние пределы

1. Дайте определение левого и правого предела функции и дайте отрицание этих определений на языке “” и используя определение односторонних окрестностей. Как обозначаются такие пределы?

2. Как определения из пункта 1 изменяться, если предел это символ ?

3. Какова связь односторонних пределов и предела функции?

4. Дана функция . Существует ли?

4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1. Какая функция называется бесконечно малой при и? Как обозначаются бесконечно малые функции? Приведите примеры бесконечно малых прии.

2. Постройте функцию, которая была бы бесконечно малой при , при, прии при.

3. Может ли быть равна какой либо постоянной малой величине бесконечно малая функция?

4. Какая функция называется бесконечно большой при и? Приведите примеры бесконечно больших прии.

5. Укажите пример величины неограниченной, но не бесконечно большой.

6. Сформулируйте свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Какова связь между ними?

4.4. Основные теоремы о пределах функций

4.4.1. Общие свойства пределов функций

1. Сформулируйте и докажите теоремы о единственности предела, об ограниченности функции, о сохранении знака, о предельных переходах в равенствах и неравенствах, о пределе промежуточной функции, о связи функции с ее пределом.

4.4.2. Арифметические свойства пределов функций.  Предел

сложной функции

1. Сформулируйте и докажите правила предельного перехода в случае арифметических действий над функциями.

2. Когда вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям? Как в этом случае вычислять предел? Приведите примеры.

3. Пусть ,. Докажите, что:

а) ,

б) ,

в) ,

г) (при),

д) (при).

4. Пусть (причемпри),. Докажите, что.

5. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.

4.5. Первый и второй замечательные пределы

4.5.1. Первый замечательный предел

1. Какой предел называют первым замечательным пределом и для чего его используют? Приведите примеры использования первого замечательного предела.

4.5.2. Второй замечательный предел

1. Какой предел называют вторым замечательным пределом и для чего его используют? Приведите примеры использования второго замечательного предела.

2. Приведите две формы записи второго замечательного предела.

4.11.Символика “O” и “o”. Эквивалентные бесконечно малые

4.11.1. Основные определения

1. Для чего применяются асимптотические формулы? Что понимается под сравнением функций при ()?

2. Какие функции обозначают символами -малое и -большое? Какие функции называют эквивалентными?

3. Что подразумевают под словами функция имеет порядокпо сравнению с функциейпри? Докажите, что если

, топри.

4. Когда говорят, что функции ине сравнимы между собой при()? Приведите примеры таких функций.

5. Дайте определение эквивалентных бесконечно малых (больших) при , бесконечно малых одного порядка малости (больших одного порядка роста) при, бесконечно малой более высокого (высшего) порядка малости по сравнению спри.

6. Приведите примеры функций , для которых справедливы равенства:

а) при,

б) при,

в) при.

7. Пусть при,. Докажите, чтопри.

8. Докажите, что если − бесконечно малая при, то при

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) .

9. Пользуясь свойствами символа -малое, запишите для функции равенство видапри, если:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

10. Справедливо ли равенство при, если: а), б), в)? Ответ обоснуйте.