2.4. Теорема Больцано - Вейерштрасса. Критерий Коши существования предела числовой последовательности

(принцип сходимости)

2.4.1. Частичные последовательности и частичные пределы. Теорема Больцано – Вейерштрасса

1. Дайте определение частичной последовательности (подпоследовательности). Сформулируйте свойства частичных последовательностей.

2. Дайте определение частичного предела последовательности.

3. Может ли последовательность не иметь предела, но иметь частичный предел? Ответ обоснуйте.

4. Всегда ли существуют частичные пределы у последовательностей? Приведите формулировку теоремы Больцано – Вейерштрасса.

5. Верно ли утверждение: если последовательность имеет единственный частичный предел, то она сходится?

6. Докажите, что бесконечно большая последовательность не имеет частичного предела.

7. Верно ли утверждение: если последовательность не ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность?

8. Докажите, что:

а) из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность,

б) любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности является бесконечно большой,

в) монотонная неограниченная последовательность не имеет частичного предела.

9. Пусть . Может ли последовательностьбыть: а) сходящейся (если да, то чему может быть равен ее предел?), б) расходящейся?

10. Даны последовательности ,,. Укажите какая из них: а) имеет частичный предел, б) не имеет частичного предела, в) имеет два частичных предела, г) имеет только один частичный предел. Есть ли среди этих последовательностей сходящаяся?

11. Известно, что последовательности иимеют по одному частичному пределу. Покажите на примерах, что последовательностиимогут: не иметь частичных пределов; иметь один частичный предел; иметь два частичных предела?

12. Найдите все частичные пределы последовательности , если:

а) ,

б) ,

в) .

13. Построить последовательность, содержащую подпоследовательность, сходящуюся к любому наперед заданному неотрицательному числу.

2.4.2. Фундаментальные последовательности и критерий Коши

1. Дайте определение фундаментальной последовательности. Приведите примеры фундаментальной и нефундаментальной последовательностей.

2. Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности.

3. Сформулируйте позитивные (без отрицаний) необходимые и достаточные условия, аналогичные условию Коши, для того, чтобы данная последовательность не имела предела.

ГЛАВА 4. Предел функции. Непрерывные функции

1. Что вкладывается в понятие предела?

2. Какие понятия математического анализа определяются через предел?

3. Какое поведение последовательности и какое поведение функции описывают пределы?

4.1. Предельная точка множества. Предел функции: определения Гейне и Коши.

4.1.1. Предельная точка множества

1. Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры множеств, у которых существуют и не существуют предельные точки.

2. Может ли предельная точка множества ему не принадлежать?

3. Дайте определение предельной точки множества . Приведите примеры.

4. Дайте определение изолированной точки множества. Приведите примеры.

5. Если предельная точка множества, то сколько существует последовательностейтаких, чтопри?

4.1.2. Предел функции: определение Гейне и Коши

1. Как определяется предел функции в точке по Гейне. Приведите геометрическую иллюстрацию.

2. Как определяется предел функции в точке по Коши? Запишите определение предела на языке “” с помощью логических символов. Приведите геометрическую иллюстрацию поведения функции вблизи ее предела.

3. Могут ли в определениях по Гейне и по Коши точка и предел быть символами .

4. Докажите, что , используя определение предела на языке “” и используя определение предела “на языке последовательностей”.

5. Приведите примеры функций, не имеющих предела по Гейне и по Коши при .

6. Как связаны пределы функций в точке по Гейне и по Коши?

7. Почему все свойства пределов для последовательностей автоматически справедливы и для функций?