2.2.3. Теоремы о предельном переходе в равенствах и неравенствах. Арифметические свойства пределов

1. Обоснуйте возможность предельных переходов в равенствах и неравенствах для последовательностей. Докажите арифметические свойства пределов последовательностей.

2. Пусть последовательность сходится, арасходится. Докажите, чторасходится,сходится,расходится при. Покажите на примерах, что последовательностьможет: а) сходится, б) расходится.

3. Пусть последовательность сходится. Следует ли из этого, чтоисходятся?

4. Дано: ,. Докажите, что:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

5. Докажите, что , если,.

6. Пусть , причем. Следует ли отсюда, что: а), б)?

7. Докажите, что если и, то.

8. Известно, что . Найдите предел последовательности, если:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

9. Известно, что . Докажите, что:

а) , если,

б) , если.

2.2.4. Неопределенные выражения

1. Имеют ли место теорема об арифметических свойствах пределов в случае, если пределы последовательностей и(один или оба) бесконечны или – в случае частного – когда знаменатель нуль?

2. Что вкладывается в понятие «неопределенность», «раскрытие неопределенности»? Приведите примеры неопределенностей.

3. Раскройте неопределенности:

а) , если,

б) , если,,

в) , если.

г) , если,.

4. Составить две неограниченные последовательности итак, чтобы разность этих последовательностейрасходилась; была сходящейся последовательностью и имела предел а), б),

в) , г) .

5. Известно, что последовательности ирасходятся. Могут ли последовательности,быть: сходящимися; расходящимися?

2.3. Монотонные последовательности. Существование предела. Число

2.3.1. Монотонные последовательности

1. Что вкладывается в понятие возрастающая (убывающая), неубывающая (невозрастающая) последовательность? Какие последовательности называются строго монотонными? Приведите примеры.

2. Определите, являются ли последовательности монотонными и укажите вид монотонности:

а) ,

б) ,

в) ,

г) − количество натуральных чисел, делящихся на три и не превышающих:,

д) −член последовательности из г), взятый с противоположным знаком.

2.3.2. Теорема о пределе монотонной последовательности

1. Сформулируйте и докажите теорему о пределе монотонной последовательности.

2. Приведите примеры применения теоремы о пределе монотонной последовательности для нахождения предела последовательности.

3. Является ли ограниченность последовательности необходимым и достаточным условием сходимости: а) монотонной последовательности, б) произвольной последовательности?

4. Составьте две убывающие последовательности итак, чтобы члены первой были меньше членов второй последовательности, т. е.при любом, но пределы этих последовательностей оба были равны единице.

5. Составьте две неограниченные возрастающие последовательности итак, чтобы разность этих последовательностейбыла последовательностью, сходящейся к единице.

2.3.3. Число e. Натуральные логарифмы

1. Докажите, что существует .

2. Какое число называют числом . Логарифм по какому основанию называют натуральным логарифмом?

3. Что называют модулем перехода?