Методические указания. Понятов

менной х может сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению области сходимости ряда, т.е.совокупности значений переменной х, при которых ряд сходится.

Важным видом функциональных рядов является ряд вида

a0 a1x a2 x2 ... an xn ... an xn ,

n 0

Называемый степенным рядом.

Основным свойством степенных рядов является то, что если степенной ряд сходится при x = x0 , то он сходится и притом абсолютно для всех x x0

(теорема Абеля). Следствием теоремы Абеля является то, что для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких,

что x R (или –R<x<R), ряд абсолютно сходится, а при всех x R ряд расхо-

дится.R называется радиусом сходимости. Интервал (–R, R) называется интервалом сходимости. Если R = 0, то степенной ряд сходится только при х = 0; если R = , то ряд сходится для всех значений х. На концах интервала сходимости в точках х = R сходимость ряда надо исследовать отдельно.

Для отыскания радиуса и интервала сходимости степенных рядов можно использовать признаки Даламбера или Коши, применяемые к ряду из абсолютных величин членов исходного ряда.

Пример 81. Найти область сходимости степенного ряда

Определим сходимость на концах интервала сходимости, в точках –1 и 1.

При х = –1 имеем ряд: 1 12 13 14 ... . Этот знакочередующийся ряд сходит-

ся по признаку Лейбница (см. пример 79).

При х = 1 имеем ряд: 1 12 13 ... 1n ... Это гармонический ряд, он расходится.

Вывод: область сходимости степенного ряда [-1, 1).

Записав условие сходимости ряда в общем виде для un (x) an xn , можно выразить радиус сходимости ряда R через коэффициенты an .

61

Литература

1. Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Юрайт, 2011. –909 с.

2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. – М.: Айрисс-пресс, 2006.–608 с.

3.Красс М.С, Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.:

Питер, 2010. – 464 с.

4.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под общ. ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2010. – 656 с.

5. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 576 с.

6.Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу и др., под ред. С.Н. Федина – М.: Айрис-пресс, 2007. – 592 с.

7.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.– М.: Оникс, 2008. – 816 с.

63

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Составитель:

Алексей Александрович Понятов

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И Лобачевского». 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина,23

Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 3,9. Уч.-изд. л.

Заказ № Тираж экз.

Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

603600, г. Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37 Лицензия ПД № 18-0099 от 14.05.01.

64

65