Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания. Понятов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Нахождение yoo рассмотрено выше. Здесь остановимся на поиске частного решения ЛНДУ. В общем случае может быть применен метод вариации произвольных постоянных в yoo.Однако для правых частей специального вида

f x e x Pn x cos x Qm x sin x ,

где Pn x и Qm x - многочлены степени n и m , частное решение ЛНДУ нахо-

дится значительно проще. В этом случае частное решение неоднородного
уравнения ищется в подобном	f x виде
y xs e x A x cos x B x sin x ,
чн	k	k
где Ak x и Bk x - полные многочлены k - ой степени с неопределенными ко-
эффициентами k max n,m ,	аsопределяется	следующим образом. Если
i является корнем характеристического уравнения, тоsравно кратности

этого корня, если i не является корнем характеристического уравнения,
то s 0. (т.е. множитель xs в yчн		отсутствует).
Примечания. Если	f x	не содержит e x , то считается = 0, и частное
решение тоже не содержит	e x .	Если f x не содержит тригонометрических

функций, то считается = 0, и частное решение тоже их не содержит. Термин

полный многочлен означает, что многочлен содержит все степени х. Например,
если в	f x наивысшая степень х2, то независимо от того, есть ли другие сла-
гаемые,	имеем	k 2 и	A	x a x2	a x a ,		B	x b x2	b x b , где
			2	2	1	0	2	2	1	0
a2 , a1, a0 , b2 , b1, b0		– неопределенные коэффициенты,						которые нужно найти,

подставляя yчн в исходное ЛНДУ и применяя метод неопределенных коэффициентов. Таким образом, задача поиска yчн сводится к нахождению значений неопределенных коэффициентов. В таблице приведены виды yчн для основных случаев.

f x	Корни характеристиче-		Вид частного решения yчн
f x	ского уравнения (ХУ)		Вид частного решения yчн
	ского уравнения (ХУ)
	Число не является кор-				e x A x
e x P x	нем ХУ,s = 0				n
e x P x	нем ХУ,s = 0
n	Число	является корнем		xs e x A x
	Число	является корнем		xs e x A x
	ХУ кратности s				n
	ХУ кратности s
e x [Pn x cos x	Числа i не являются		x	Ak x cos x Bk sin x
Qm sin x]	корнями ХУ,s = 0		e	Ak x cos x Bk sin x
	корнями ХУ,s = 0
	Числа	i являются	x e x [A		x cos x B sin x]
	Числа	i являются	x e x [A		x cos x B sin x]
	корнями ХУ,s = 1			k	k
	корнями ХУ,s = 1
Пример 67.	Найти общее решение ЛНДУ y 2y y e x .
		51

Решение. Общее решение ЛНДУ есть сумма y yoo yчн

общего реше-

ния соответствующего ЛОДУ ( yoo ) и частного решения ЛНДУ ( yчн ).

I.Найдем общее решение ЛОДУ

y 2y y 0 .

Составим и решим ха-

рактеристическое уравнение:

2 1 0 , D 0, 1. Следовательно,

e x C C x .

общее решение имеет вид: y

II. Найдем частное решение ЛНДУ для правой части

f (x) e x специаль-

ного вида. Здесь правая часть имеет вид

f (x) e x Pn x , где = –1,

P x 1

– многочлен степени 0 (n = 0). Число = –1,

является корнем характеристиче-

ского уравнения кратности s = 2,

A0 x a0

, следовательно,

y xs e x A x x2e xa .

чн

Найдем неопределенный

коэффициент

a0 ,

подставив

yчн

исходное

ЛДНУ. Предварительно вычислим производные.

(yчн ) (a0 x2e x ) a0

2xe x x2e x

a0e x 2x x2 ,

(yчн ) a0 e x 2x x2 e x 2 2x a0e x x2 4x 2 .

y 2y y a0e x x2 4x 2 2a0e x

2x x2

a0 x2e x e x ,

a e x x2 4x 2 4x 2x2 x2 e x

a e x 2 e x

0,5.

Итак, частное решение ЛДНУ имеет вид

0,5x2e x .

чн

III.Запишем общее решение ЛНДУ y y

y e x C C x 0,5x2e x .

чн

Пример 68.

Найти общее решение ЛНДУ y y 2y x sin x.

Решение. I.Найдем общее решение ЛОДУ

Составим и

y 2y

решим характеристическое уравнение

2 0,

D 0,

Об-

щее решение имеет вид: y

C e x

C e2x .

оо

II. Найдем частное решение ЛНДУ для правой части специального вида

f (x) x sin x 0 cos x x sin x . Т.е. f (x) e x [P x cos x Q sin x]

где =

0, = 1, P0 x 0

– многочлен степени 0 (n=0), Q1 x x – многочлен степени 1

(m=1).Значит, y

xs e x

x cos x B

x sin x .

чн

a1x

a0 ,

b1x

b0 , где

a , a , b , b

Здесь k max n,m 1, и

0 –

неопределенные коэффициенты. Число i 0 1 i i не является корнем характеристического уравнения, следовательно,s = 0, и окончательно:

yчн a1x a0 cos x b1x b0 sin x .

Найдем неопределенные коэффициенты, подставив yчн в исходное ЛНДУ. Предварительно вычислим производные.

(yчн ) a1 cos x a1x a0 sin x b1 sin x b1x b0 cos x

b1 a1x a0 sin x b1x b0 a1 cos x,

(yчн ) a1 sin x b1 a1x a0 cos x b1 cos x b1x b0 a1 sin x2b1 a1x a0 cos x b1x b0 2a1 sin x.

Подставляем и сгруппируем слагаемые по cosx и sin x , получим: y y 2y 2b1 a1x a0 cosx b1x b0 2a1 sin x [ b1 a1x a0 sin x

b1x b0 a1 cosx] 2[ a1x a0 cosx b1x b0 sin x] x sin x;

или
3a1x b1x 2b1			b0 a1	3a0 cosx a1x 3b1x 2a1 a0 b1 3b0 sin x
0 cosx x sin x;
Приравниваем коэффициенты при cosx и sin x справа и слева:
3a1 b1			x 2b1 b0 a1 3a0 0 0 x 0
	a 3b x 2a a b 3b						x 1 x 0
	1	1	1	0	1	0

Если многочлены равны, то равны и их коэффициенты при одинаковых степенях x . Приравниваем коэффициенты слева и справа в каждом равенстве.

Получаем систему относительно де a1, a0 , b1, b0 :
3a1 b1			0
							11							1					1							3
2b1 b0 a1 3a0 0					a0		11							1					1							3
	3b 1								, a1								, b0				, b1							.	.
							50		, a1					10			, b0	25			, b1					10		.
a							50							10				25								10
1	1
2a a b 3b 0
	1 0		1	0
								1					11									3				1
Частное решение ЛНДУ имеет вид: yчн											x					cos x								x					sin x.
Частное решение ЛНДУ имеет вид: yчн								10			x		50			cos x						10		x		25			sin x.
								10					50									10				25
Общее решение ЛНДУ имеет вид:
							1					11									3					1
	y y	оо	y	C e x C e2x						x					cosx								x				sin x.
	y y		y	C e x C e2x						x					cosx								x				sin x.
			чн	1	2	10						50								10					25
						10						50								10					25

4.4. Системы дифференциальных уравнений

Будем рассматривать системы ДУ (СДУ) первого порядка. СДУ называется нормальной, если ее уравнения имеют вид:

yi fi (t, y1, y2 ,...,yn ).

Здесь t – независимая переменная, yi(t) –искомые функции, yi dyi / dt , i = 1,

2,…,n, n– количество искомых функций (уравнений).

Решением СДУ называется набор из nфункцийy1(t),y2(t),…, yn(t),обращающих все уравнения системы в тождество. Общее решение системы

содержит nпроизвольных постоянных C1 , C2 ,…, Cn .Задача Коши для СДУ со-

стоит в том, чтобы найти такое решение, которое при t t0 принимало бы за-

данные значения (начальные условия) y1 t0 y10, y2 t0 y20,..., yn t0 yn0 . Нормальная СДУ называется линейной, если ее уравнения имеют вид:

yi ai1 t y1 ai2 t y2 ... ain t yn bi t .

Линейная СДУ называется однородной, если b1 (t) b2 (t) ... bn (t) 0.

В ряде случаев для решения СДУ может быть использован метод исключения неизвестных, сводящий систему к одному ДУn –го порядка. Если метод исключения применяется к линейной системе, то получается линейное ДУ.

Далее будем рассматривать однородную линейную СДУ с постоянными коэффициентами ( aij const)с двумя неизвестными функциями.

	a11y1 a12y2
y1
	a21y1 a22y2
y2

Ее общее решение содержит две произвольные постоянные C1 и C2 и геометрически определяет линию (интегральную кривую) на плоскости OY1Y2 . Если аргумент t играет роль времени, то указанная кривая будет служить траекторией точки, движущейся на плоскости OY1Y2 .

Для интегрирования однородных линейных СДУ с постоянными коэффициентами применяется также матричный метод (модифицированный ме-

тод Эйлера). В матричной форме СДУ имеет вид:
Y AY,		y		y				a	a
Y AY,	где Y 1		,	Y	1		,	A 11	12	.

		y2						a21	a22
		y2		y2				a21	a22
Пусть 1 и 2– собственные значения матрицы А, которые находятся как
решения характеристического уравнения
		a11		a12		0
		a11		a12
		a21		a22
		a21		a22

ОбозначимU(u1,u2) и V(v1,v2) собственные векторы матрицы А, отвечающие

собственным значениям 1		и 2. Их координаты есть решения систем
a11 1	u1 a12u2 0					a11 2	v1 a12v2 0
a u a		u	2	0	,	a v a			v 0
21 1	22	1	2			21 1	22	2	2

Заметим, что определитель этих однородных алгебраических систем равен нулю в силу характеристического уравнения, поэтому они имеют бесконечное множество решений. Можно взять любое из них. Тогда общее решение СДУ для действительных 1 2может быть записано в виде:

Y С Ue 1t С Ve 2t		или y С u e 1t С v e 2t ,					y	С u e 1t С v e 2t .
1	2	1	1	1	2	1	2	1	2	2	2

x x 3y

Пример 69. Найти общее решение СДУ y x y

Здесь для упрощения записи искомые функции обозначены разными буквами, т.е. y1 x, y2 y, независимая переменная по-прежнему t, ' ddt .

I.Используем метод исключения неизвестных, сводящий СДУ к линейному ДУ второго порядка для неизвестной функции у(t). Для этого дифференцируем уравнение для y и подставим в него выражение для х ( x x 3y ) из первого уравнения, а затем выражение для х ( x y y ) из второго:


	x y			y							y	x 3y y				y				y 3y y
y	x y			y			x y				y	x 3y y				y	y			y 3y y
Окончательно получаем ЛОДУ с постоянными коэффициентами

									y		4y 0
Составим характеристическое уравнение, решим и запишем общее решение
		2 4 0			2, 2									y C e 2t		C e2t
							1		2						1			2
		x y y C1e 2t									C1e 2t C2e2t C1e 2t								3C2e2t
		x y y C1e 2t						C2e2t			C1e 2t C2e2t C1e 2t								3C2e2t
	II.Используем матричный метод(метод Эйлера).
	Составим характеристическое уравнение
		1	3	1 1					1 3 2 4 0						1 2, 2 2 .
		1	3
		1	1
		1	1
	Найдем собственный вектор U(u1,u2) матрицы А, отвечающий собствен-
ному значению 1 = –2 :
		1 1 u1 3u2 0							3 u1 3u2 0						u1 u2 0
	1u 1			u		2	0		u u				2	0	u u			2	0
		1	1			2				1			2		1			2

Получили систему, имеющую бесчисленное множество решений. Для получе-

ния одного выразимu2 черезu1:u2=–u1				и положим u1 = –1, тогдаu2 = 1.
Найдем собственный вектор V(v1,v2) матрицы А, отвечающий собствен-
ному значению 2 =2 :
1 2	v1 3v2 0		v1 3v2 0		v1 3v2 0
1v 1		v 0	v 3 v 0		v 3 v 0
1	2	2	1	2	1	2

Получили систему, имеющую бесчисленное множество решений. Для получения одного выразимv1 черезv2:v1=3v2 и положим v2 = 1, тогдаv1 = 3.

Тогда общее решение СДУ может быть записано в виде:

x С u e 1t С v e 2t ,				y С u e 1t С v e 2t
1	1	2	1	1	2	2	2
x С e 2t 3С e2t ,				y С e 2t С e2t .
	1		2		1	2

5. РЯДЫ

5.1. Числовые ряды

Пусть u1,u2 ,...,un ,...

члены бесконечной числовой последовательности,

т.е. числа,

вычисляемые

по

некоторой

функции

f (n) .

Сумма

u1 u2 ... un ... un

называется числовым рядом,

сами

числа

u ,u

,...

n 1

членами ряда, а un f (n)

– общим членом ряда.

Пример 70. Формула (общий член) un

определяет числовую по-

3n 1

следовательность u1 1/ 2, u2

2/5, u3 3/8,... (значения получаем, подставляя в

формулу n = 1, 2, 3,…) и, соответственно, ряд:

n 1

8 ...

...

3n 1

Сумму первых n членов ряда

u1 u2 ... un

называют частичной

суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если частичная сумма при n

стремится к конечному пределу S, т.е.

lim Sn S . Число S называют суммой

ряда. Часто пишут S un . Если частичная сумма при n не стремится к

n 1

конечному пределу, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

К сходящимся рядам относится, например, ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии (геометрический ряд):

		1 .
b bq bq2 ... bqn 1 ... bqn 1	q
b bq bq2 ... bqn 1 ... bqn 1	q
n 1

Из школьного курса известно, что сумма первых n членов геометрической про-

грессии S		b	1 qn		и соответственно сумма ряда S lim S		b	.
	n		1	q		n	1 q
					n

Свойства рядов

1)Сходимость или расходимость ряда не изменится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2)Если ряд un сходится и его сумма равна S, то ряд Cun тоже схо-

дится, и его сумма равна С S. (С – постоянное число, C 0).

3) Если ряды un и vn сходятся и их суммы равны соответственно S и, то ряд (un vn ) тоже сходится и его сумма равна S + .

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд un сходится, то

lim un 0, т.е. общий член un стремится к нулю при n .

Важно! Это условие не является достаточным. Например, так называе-


мый гармонический ряд 1	1	1	1	...	1	... является расходящимся (при-
n 1 n		2	3		n

мер 78), хотя необходимый признак сходимости выполняется lim 1 0.

n n

Можно говорить только о том, что если необходимый признак сходимости не выполняется, то ряд точно расходится. Поэтому, как правило, исследование ряда надо начинать с проверки необходимого признака сходимости.

Пример 71. Исследовать сходимость ряда

3n 1

n 1

Решение. Найдем

limun lim

lim

– необходимый

1/ n

n 3n 1

n 3

признак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Рассмотрим важнейшие достаточные признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами. Ряды с отрицательными члена-

ми можно получить простым умножением на –1 этих рядов.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда							un и vn причем
un vn, начиная с некоторого n. Тогда из сходимости ряда							vn следует сходи-
мость ряда un , а из расходимости un				следует расходимость vn .
Пример 72. Исследовать на сходимость ряд
	1	1	1		1
				...		...

n 2 ln n		ln 2	ln 3		ln n
1	1

Решение. Т.к. ln n n для всех n 2, и известно, что гармонический ряд

n 1

расходится, то расходится и ряд . n 2 ln n

Пример 73. Исследовать на сходимость ряд n .

n 1 n2

Решение. Т.к.

для всех n 1,

а ряд

сходится как убы-

n2n

вающая геометрическая прогрессия, то ряд

тоже сходится.

n 1 n2

Второй (предельный) признак сравнения.

Пусть даны два ряда un и vn . Если

существует предел lim

k ,

n v

где k 0 – число, то ряды un и vn одновременно сходятся или расходятся.

Пример 74. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение. Сходимость подобных рядов определяют сравнением с рядом

, сходимость которого известна (см. пример 78). Показатель сте-

n 1

n 1 n

пенир определяют, оставив в числителе и знаменателе общего члена un наи-

высшие степени n. В данном случае un	n	~	n	1	vn , т.е. р = 1, и
				n
	n4 2		n4

будем сравнивать исходный ряд с гармоническим, который, как известно, рас-

ходится. Находим lim

lim

n n

lim

1 – ненулевое число.

n vn

n n4

n 1 2/ n4

Вывод: Заданный ряд и гармонический одновременно расходятся.

Признак Даламбера. Если для

ряда

существует предел

lim

un 1

k , то при k< 1 ряд сходится, а при k> 1 – расходится. Если k = 1, то

требуется дополнительное исследование другими методами.

Пример 75. Определить сходимость ряда 3nn .

n 1

3(n 1)

3(n 1)4n

n 1

1 1/ n

; u

;

lim

n 1

lim

4n 1

4n 13n

n 1

Вывод: ряд сходится.

Пример 76. Определить сходимость ряда 2n ! 2! 4! ... 2n ! ...

2(n 1) !;

n 1

Решение. un (2n)!;

un 1

lim

un 1

lim

2n 2 !

lim

(2n)! 2n 1 2n 2 lim 2n 1 2n 2 1.

(2n)!

Вывод: ряд расходится.

Признак Коши (радикальный признак). Если для ряда un существу-

ет предел lim n un k , то при k< 1 ряд сходится, а при k> 1 ряд расходится.

					2n	3	4		n


Пример 77. Определить сходимость ряда					5n	3	3	.
			n 1		5n		3
Решение. lim n		lim 2n3 4	lim 2 4 / n3	2		1.
Решение. lim n	un	lim 2n3 4	lim 2 4 / n3	2		1.
n		n 5n3 3	n 5 3/ n3		5

Ответ: ряд сходится.

Интегральный признак (Коши). Если f (х) при х 1 – непрерывная по-

ложительная, убывающая функция, то ряд un , где un f (n) , и несобствен-

n 1

ный интеграл f (х)dx одновременно сходятся или расходятся.

Пример 78. Определить сходимость ряда

...

... , р> 0.

n 1

Решение.

f (x)

при

х 1

–

непрерывная

положительная,

x p

убывающая функция. Рассмотрим несобственный интеграл f (х)dx

dx .

x p 1

b p 1 1

, p 1

1) р 1.

lim

x p dx lim

lim

, p 1

p 1

1 x

1 b

p 1

lim ln b 0 .

2) р = 1.

1 dx lim

dx lim ln x

Следовательно, несобственный интеграл и ряд сходятся при р> 1 и расходятся при р 1. В частности, гармонический ряд (р = 1) – расходится

Знакочередующиеся ряды

Помимо рядов с членами одного знака существуют ряды с членами разного знака, которые называют знакопеременными. Среди них важную роль играют так называемые знакочередующиеся ряды

	un 0 .
u1 u2 u3 u4 ... ( 1)n 1un ... ( 1)n 1un	un 0 .
n 1

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница):

Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов un

убывают u u

..., а общий член стремится к нулю lim u

Любой знакопеременный ряд u1 u2

... un ... un ,

сходится, если

n 1

сходится ряд

...

В этом случае ряд

un называется

n 1

абсолютно сходящимся (сумма ряда не зависит от перестановки его членов).

Поскольку ряд

- ряд с положительными членами, то его исследование

n 1

проводится на основе вышеизложенных методов.

Сходящийся ряд

un называется условно

сходящимся если ряд

n 1

расходится (сумма ряда зависит от перестановки его членов).

Пример 79. Определить сходимость знакочередующегося ряда

1 1 1

1 ...

....

n 1

Решение. Абсолютные величины членов ряда убывают 1 1

1 ...,

а общий член стремится к нулю

lim u lim 1 0

В соответствии с признаком

n n

1 1

1 ... представляет собой

Лейбница данный ряд сходится. Ряд

n 1

расходящийся гармонический ряд. Вывод: ряд сходится условно.

Пример 80. Определить сходимость ряда 1 n 1 3nn .

n 1

Решение. В соответствии с примером 75 ряд

3nn сходится, сле-

n 1

n 1 4

n 1 3n

сходится абсолютно.

довательно, ряд 1

n 1

5.2. Степенные ряды

Если членами ряда будут не числа, а функции un(х), то ряд un (x) назы-

n 1

вается функциональным. Функциональный ряд при подстановке конкретного значения х превращается в числовой ряд, который при одних значениях пере-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.201992.67 Кб2Методические указания по практике 2012.doc
#
01.07.202573.22 Кб0Методические указания по практике.doc
#
01.04.202527.83 Кб0Методические указания по практическим работам.docx
#
01.07.2025333.31 Кб1Методические указания Экономика предприятия.doc
#
23.11.201910.08 Mб6Методические указания №43.rtf
#
27.03.20151.46 Mб8Методические указания. Понятов.pdf
#
22.09.2019251.73 Кб1Методическое пособие ;Авторские смены СПО Ювент...docx
#
11.11.2019266.24 Кб21Методическое пособие по культуре речи.doc
#
01.07.20253.8 Mб0Методическое пособие.doc
#
01.03.20253.59 Mб0методическое указание №4.doc
#
27.03.201571.17 Кб19методичка П.о.doc