Методические указания. Понятов

Если функция y f (x) имеет бесконечный разрыв (второго рода) в точке х

= b, то несобственным интегралом второго рода называется предел ( > 0)

Аналогично определяются интегралы при разрыве в точке х = а и х = c (a, b)

Если указанные пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или он равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Данный несобственный интеграл первого рода сходится.

Пример 60.

Данный несобственный интеграл второго рода (в точке х = 1подынтегральная функция имеет деление на нуль –точку разрыва второго рода)расходится.

41

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением(ДУ) называется уравнение, свя-

зывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные. Если искомая функция y y x есть функция одной независимой переменной x ,

то ДУ называется обыкновенным и имеет вид F x, y, y , y , , y n 0.Если же функция нескольких независимых переменных, то говорят о ДУ в частных производных. Далее будут рассматриваться только обыкновенные ДУ. Порядком- ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Поиск решения ДУ называется его интегрированием. Общим решением

ДУ n -го порядка называется функция y x,C1,C2 , ,Cn , зависящая от xи n произвольных постоянных C1,C2 , ,Cn , обращающая это уравнение в тождест-

во. Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при каких-либо определенных значениях произвольных постоянных С. Решение, записанное в неявном виде, называется соответственно общим или ча-

стным интегралом.

Пример 61.ДУ y + 9y = 0 является ОДУ второго порядка. Его общим решением является функция y(x) = C1sin(3x) + C2cos(3x), зависящая от двух произвольных постоянных C1,C2 . Проверку решения производят его подстанов-

кой в ДУ:

y + 9y = (C1sin(3x) + C2cos(3x)) + 9(C1sin(3x) + C2cos(3x)) = = –C19sin(3x) – C29cos(3x)) + 9C1sin(3x) + 9C2cos(3x) = 0

Получили тождество, следовательно, решение верное.

Функцииy(x) = 2sin(3x) + 5cos(3x), y(x) = sin(3x) и т.п. являются частными решениями ДУ для {C1 =2; C2 = 5} и {C1 =1; C2 = 0}соответственно.

График частного решения ДУ называется интегральной кривой. Совокупность графиков частных решений, соответствующих различным значениям постоянных называется семейством интегральных кривых.

Для нахождения конкретного частного решения данного ДУ, т.е. конкретных значений n произвольных постоянных C1,C2 , ,Cn , необходимо задание nусловий. Они образуют систему уравнений, из которых и находят C1,C2 , ,Cn . Такими условиями могут быть значения функции и ее (n – 1) про-

изводной в некоторой точке x0, называемые начальными условиями. Задача решения ОДУ при наличии начальных условий называется задачей Коши. Та-

кое решение ДУ называют частным решением, удовлетворяющим начальным условиям. Кроме того, такими условиями могут быть значения на концах области поиска решения, называемые граничными условиями.

42

4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка (ДУПП)

Общий вид ДУПП: F x, y, y 0.

ДУПП, разрешенное относительно производной y : y f x, y .

Общее решение ДУПП зависит только от одной произвольной постоянной y x,C .Начальное условие тоже одно, для значения функции y(x0) = y0.

4.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

y f1 x f2 y ,

в котором функция f x, y разделяется на множители, зависящие только от x

или только от y , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения основан на представлении y dydx и так называемом

разделении переменных, т.е. переносе всех множителей, содержащих х, в одну сторону, а всех множителей с у – в другую

ДУПП в таком виде называется уравнением с разделенными переменными. Взяв интегралы от левой и правой части равенства, получают общий интеграл ДУ:

Константа интегрирования записывается один раз обычно со стороны х. Если один из интегралов содержит натуральный логарифм, то для упрощения вида решения часто константу записывают в виде ln|C|.

Пример 61.Решить задачу Коши 1 ex y y ex , y 0 1.

Решение. Решить задачу Коши, означает найти частное решение ДУ1 ex y y ex , удовлетворяющее начальному условию y 0 1.

I.Сначала необходимо найти общее решение данного уравнения. Проверяем ДУ на возможность разделения переменных. Признаком этого

является то, что правая и левая часть равенства состоят из сомножителей, зависящих только от x , или только от y . Приводить к виду y f x, y не обязательно. Приходим к выводу, что данное ДУ является уравнением с разделяю-

Берем интегралы (константы интегрирования здесь можно не писать):

43

Таким образом, общий интеграл ДУимеет вид :

Примечания. Поскольку С – обозначение неопределенной постоянной, а 2С тоже неопределенная постоянная, то в записи общего интеграла можно за-

менить 2С на С, что называется переобозначением неопределенной постоянной.

Можно также переобозначить постоянную как ln|C|, тогда общий интеграл бу-

II.Теперь найдем частный интеграл и частное решение ДУ, удовлетво-

ряющие начальному условию y 0 1, т.е. определим значение Cпри x 0, y 1

При извлечении корня учтено, что из начального условия следует y 0 (т. к. y 0 1), поэтому перед корнем берем знак плюс.

Дифференциальная форма ДУПП x, y dx x, y dy будет уравнением с разделяющимися переменными, если коэффициенты при дифферен-

циалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y :

Пример 62. Найти общее решение ДУ xydx xdy xydy 2 y dx . Решение. Перенесем слагаемые с dx в одну сторону, ас dy в другую, и за-

пишем данное уравнение в виде (4.1)

x y 1 dy y x 2 dx

Разделив обе части равенства на произведение х у, получим уравнение с разделенными переменными

44

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл ДУ

Нахождение общего решения в аналитической форме здесь невозможно.

4.2.2.Однородные дифференциальные уравнения

Функция f x, y называется однородной функцией своих аргументов из-

Разделяем переменные и находим общий интеграл ДУ:

Здесь использовано переобозначение постоянной как ln|C|. Подставляем u y / x , и получаем окончательный вид общего интеграла ДУ:

4.2.3. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

y p x y q x

называется линейным(ЛДУ), т.к.yи y входят в первой степени и не перемножаются между собой. Здесь p x и q x - непрерывные функции. Уравнение y p x y 0 называется линейным без правой части или линейным однородным (ЛОДУ). Соответственно уравнение с q x называют также неоднородным ЛДУ. ЛОДУ является уравнением с разделяющимися переменными. Укажем два метода решения линейного уравнения.

I. Метод Бернулли

Будем искать функцию y в виде произведения двух вспомогательных неизвестных функцийu(x) иv(x), т.е. положим y = u v, тогда y u v u v

брана произвольно, другая же должна определяться уравнением(4.2).

Выберем v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в нуль, т.е. v pv 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решив

его, находим v(x), причем нас устраивает любое частное решение. Поэтому для простоты положим C 0.Для найденного v(x) решаем уравнение(4.2), которое

тоже теперь будет уравнением с разделяющимися переменными u v(x) q(x) .

Из него находим общее решение u(x, С) и записываем ответ.

y(х) u x,С v x .

II. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)

Сначала решается однородное уравнение y p x y 0

Это уравнение с разделяющимися переменными и поэтому, разделив пе-

Здесь произведено переобозначение постоянной С = еС.

46

функция С(х).Это и называется вариацией произвольной постоянной. Подставив y C(x) e ( x) в уравнение найдем С(х).

Пример 64. Найти общее решение ЛДУ x2 y y 2x3e1/ x .

Решение. Поделив уравнение на х2, приведем его к стандартному виду

Выберем v(x) так, чтобы v x 2v 0 . Разделяем переменные, находим v(x):

лагая теперь, что С не постоянная, а некоторая неизвестная функция С(х), т.е.

Окончательно общим решением данного ДУ будет y C(x)e1/ x e1/ x x2 C .

Здесь использовано переобозначение постоянной C1 = C.

47

4.3. Дифференциальные уравнения второго порядка (ДУВП)

F x, y, y , y 0

4.3.1.Неполные ДУВП, допускающие понижение порядка

I. Уравнение не содержит искомой функцииy F x, y , y 0 .

z x , а затем из уравнения y (x) z x общее решение ДУВП.

Пример 65. Найти общее решение ДУ

Решение. Это уравнение не содержит искомой функции y. Положим y (x) z x , тогда y z и получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции z x :

Выберем v(x) так, чтобы v x 1v 0 . Разделяем переменные, находим v(x):

Окончательно общим решением данного уравнения будет z u v x 1 C x 1 C1x 1 x 2.

Теперь находим y(x) :

Полученное выражение для y есть общее решение данного ДУ.

4.3.2. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение второго порядка вида y p y q y f x

называется линейным неоднородным с постоянными коэффициентами

(ЛНДУ), т.к. y, y иy входят в первой степени и не перемножаются между собой, аpиq– числа (постоянные коэффициенты). Функцию f x называют правой частью, соответственно и уравнение также называют линейным с правой частью (неоднородным). Уравнение y p y q y 0 называется линейным без правой части или линейным однородным (ЛОДУ).

I. Решение однородного уравнения

y p y q y 0

Для нахождения общего решения этого уравнения составляют так называемое характеристическое уравнение, заменяя производные искомой функции на в степени, равной порядку производной (т.е. y заменяем на 2,y на ). Саму функцию у заменяют на 1. Получаем:

2 p q 0.

При решении этого квадратного уравнения возможны три случая, в каждом из которых записывается общее решение в соответствии с таблицей:

49

Запомните. В случае двух различных корней кратность каждого корня равна s = 1, в случае равных корней (D = 0) кратность корня равна s = 2.

Решение. Решить задачу Коши означает найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям. Найдем общее решение дифференци-

ального уравнения. Составим характеристическое уравнение 2 7 6 0 и решим его: D 0, 1 1, 2 6 . Следовательно, в соответствии с таблицей об-

щее решение имеет вид: y C1ex C2e6x .

Поскольку в начальные условия входит значение производной, найдем

Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид: y 3ex 2e6x

II. Решение неоднородного уравнения

y p y q y f x

Справедлива теорема о структуре общего решения ЛНДУ:

Общее решение ЛНДУ представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (yoo) и произвольного частного решения неоднородного уравнения (yчн): y yoo yчн .

50