Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания. Понятов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

x 1

3A 9

A 3

x 2

2B 14 B 7

x 4

6C 30

C 5

Таким образом, получаем разложение:

x2 2x 6

x3 7x2 14x 8

x 1

x 2

x 4

Находим интеграл

x2 2x 6

dx 3

x3 7x2 14x 8

x 1

x 2

x 4

3ln x 1 7 ln x 2 5ln x 4 C

x2 1

Пример 42. Найти интеграл 3 dx . x 1 (x 3)

Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель уже разложен на множители. По правилу разложения множителю (х – 1)3

соответствует сумма трех простейших дробей

жителю (х + 3) соответствует простейшая дробь

A	B	C	, а мно-

(x 1)3	(x 1)2	x 1

x 3 . Получаем:

x2 1		A		B		C			D
x 1 3 (x 3)		(x 1)3		(x 1)2		x 1			x 3

Приведем дроби справа к общему знаменателю и приравняем числители:

A(x 3) B x 1 (x 3) C x 1 2 (x 3) D x 1 3 x2 1

Поскольку удобных значений здесь только два 1 и –3, а найти нужно четыре неопределенных коэффициента A, B, C, D, можно использовать смешанный метод: два уравнения написать, используя удобные значения, а два других, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (обычно удобно брать наивысшую степень и слагаемые без х). Получим систему:

x 1

4A 2

A 1/ 2

x 3

64D 10

D 10 / 64 5 / 32

C D 0

C D 5 / 32

3A 3B 3C D 1

B A C D / 3 1/ 3 3 / 8

x2 1

x 1 3 (x 3)

(x 1)3

(x 1)2

x 1

x 3

(x 1) 2

(x 1) 1

x 1

x 3

Пример 43. Найти интеграл		3x 16		dx .

	(x 2)(x2		2x 10)

Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель уже разложен на множители, причём квадратный трехчлен (x2 – 2x + 10) не имеет действительных корней(D = –36 <0) и на множители разложен быть не может. По правилу разложения множителю (х–2) соответствует простейшая

дробь

, а множителю (x2 – 2x + 10)

простейшая дробь

Bx C

. Получа-

x 2

x2 2x 10

ем разложение:

3x 16

Bx C

(x 2)(x2 2x 10)

x 2

2x 10

Приведем дроби справа к общему знаменателю и приравняем числители:

A(x2 2x 10) (Bx C)(x 2) 3x 16.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему:

x2	A B 0	A 1
x2	A B 0	A 1
x1	2A 2B C 3	B 1
x0	10A 2C 16	C 3

3x 16	dx	dx		x 3
					dx.
(x 2)(x2 2x 10)		x 2	x2	2x 10

x 3

Найдем интеграл от рациональной дроби III типа x2 2x 10 dx.

Метод ее интегрирования основан на разбиении этого интеграла на два интеграла с известным способом интегрирования. Сначала выделяем интеграл вида


	f (x)	dx df			ln	f (x)	C.Т.е. в числителе должна стоять производная зна-

	f (x)			f

менателя (x			2					Запишем числитель таким образом, чтобы в
					2x 10) 2x 2.
нем содержалось (2x 2) : x 3								1 2x 2 4 .
								2

Совет: сначала надо написать (2х – 2), потом определить, на какое число надо умножить, чтобы получить при х тот же коэффициент, как и слева, а затем добавить слагаемое, чтобы справа получался исходный числитель (х + 3).

Получающийся после этой операции второй интеграл берется методом выделения полного квадрата в знаменателе аналогично примеру 36. Итак, получаем:

2x 2 4

x 3

x2 2x 10

2x 2

dx 4

x2 2x 10

x 1 2 9


		1	2x 2
			2x 2		4
		2			4
		2		dx				dx
	x2 2x 10			dx		x2 2x 10		dx
1		d x2 2x 10			4		d(x 1)
2			x2 2x 10		4		x 1 2 32

12 ln x2 2x 10 4 13 arctg x 3 1 C 12 ln x2 2x 10 43 arctg x 3 1 C

Окончательно имеем

3x 16

x 3

(x 2)(x2

2x 10)

x 2

x2 2x 10

x 2

1 ln

x2 2x 10

4 arctg

x 1

Пример 44. Найти интеграл

3x3 2x

dx.

x2 x 6

Решение. Здесь подынтегральная функция

3x3 2x

– неправильная ра-

x2 x 6

циональная дробь, так как степень многочлена числителя n =3 больше степени знаменателя m =2. Разделим числитель дроби на знаменатель.

Целая часть тогда

Остаток

Примечание. Деление многочленов производится по членам с наивысшей степенью. Сначала 3x3 делим на х2 и записываем результат 3х. Затем x2 + x – 6 умножаем на 3х, и результат 3x3 + 3х2– 18х, вычитаем из 3x3– 2х, подписав снизу. Полученный многочлен –3x2– 16х делим аналогично и приписываем результат к 3х и т.д. Деление прекращается, когда степень многочлена-делимого станет меньше степени многочлена делителя. Здесь меньше 2.

Разложим правильную

рациональную

дробь

19x 18

на простейшие

x2 x 6

дроби. Для этогоопределив

корни квадратного

трёхчлена

x2 + x – 6:x1 = –3,

x2 = 2, разложим его на множители

19x 18

x2 x 6

(x 3) (x 2)

x 3

x 2

Приводим дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравниваем числители. Для нахождения А и В используем удобные значения

A(x 2) B(x 3) 19x 18.

x 3	5A 75	A 15	19x 18	15	4

x 2	5B 20	B 4
			x2 x 6	x 3	x 2

3x3 2x

3x 3

dx 3

3x 15ln | x 3| 4ln | x 2 | C.

x2 x 6

x 3

x 2

3.1.6. Интегрирование простейших иррациональных функций

Интеграл вида

											,... dx ,
	n	m	,	r	ax b	p		m/ n	, ax b	p / r
R x,		ax b	,		ax b		,... dx R ax b		, ax b

где R –рациональная функция своих аргументов, приводится											к интегралу от

рациональной дроби с помощью подстановки ax b tk , где k – наименьший общий знаменатель дробей m/n, p/r, …

Пример 45. Найти интеграл

dx .

Решение. Представим корни в виде степеней

x1/ 2 , 4

x3 x3/ 4 . Наи-

меньший общий знаменатель дробей 1/2 и 3/4 k =4, следовательно, делаем под-

становку x = t4,

откуда dx 4t3dt ,

t x1/ 4

x1/ 2

t 2

4t3dt 4

dt 4 t 2

1 4

1 x3/ 4

1 t3

4 d 1 t3

4 t 2dt

3 1 t3

4 3

3 ln

C 3

4 x3

3 ln

1 4 x3

Здесь учтено преобразование неправильной дроби

тогда

Пример 46. Найти интеграл

3 2 2x 3

2x 3 2/ 3 ,

2x 3 1/ 2 .

2x 3 2

Решение. 3

2x 3

Наименьший общий

знаменатель дробей 2/3 и 1/2k =6, следовательно, делаем подстановку 2x+3= t6,

откуда x t6 3 / 2, dx 3t5dt , t 2x 3 1/ 6 62x 3

3t5dt

t5dt

2x 3 2 / 3 2x 3 1/ 2

t 4 t3

t3 t 1

2x 3 2

2x 3

t 2dt

t 2 1 1

t 1 t 1

3 t 1

t 1

1 3

t ln

t 1

2x 3

2x 3 1

C 3

3.1.7.Интегрирование тригонометрических функций

Во многих случаях интегралы от тригонометрических функций удаётся

соответствующей заменой переменной свести к интегралам от многочленов или рациональных дробей. В ряде случаев выражения необходимо предварительно упростить, применив тригонометрические формулы.

Рассмотрим наиболее типичные случаи.

I. Пусть подынтегральная функция зависит от sin x, cos x, над которыми выполняются действия сложения, вычитания, умножения и деления. Принято обозначать такую функцию R(sin x,cos x). Её называют рациональной функцией от sin x, cos x.

Интеграл R(sin x,cos x)dx сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной подстановки:

t tg	x	,	sin x	2t	, cosx	1 t2	, x 2arctg t,	dx	2dt
	2			1 t2		1 t2			1 t2

Пример 47. Найти интеграл

3cosx 4sin x

Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой

2dt

1 t 2

3cosx 4sin x

(1 t

)

3(1

) 8t 5(1 t

)

1 t 2

t 2

2dt

(t 2) 2 d(t 2)

(t 2)

8t 8

Если степени sin x и cos x четные, то более удобна подстановка t tg x .

При этом sin2	x	t2		cos2	x	1		x arctg t,	dx	dt
			,				,				.
		1 t2				1 t2				1 t2

Достоинством универсальной подстановки является то, что она позволяет вычислить любой интеграл вида R(sin x,cos x), но во многих случаях она приводит к слишком громоздким вычислениям. Поэтому в ряде частных случаев удобнее использовать другие подстановки. Рассмотрим их.

II. Для нахождения интегралов вида sinm xcosn xdx используется

1)если m – целое положительное нечётное число, подстановка t = cos x; 2)если n – целое положительное нечётное число, подстановка t = sin x;

Степень подставляемой функции может быть любой, в том числе и дробной. Другая функция после выделения dt будет входить обязательно в четной степени, и для ее выражения через t используется тождество sin2x + cos2x = 1.

3)если m, n – целые положительные чётные числа, предварительное упрощение подынтегральной функции с помощью формул понижения порядка:

sin xcosx	1 sin 2x , cos2	x	1 cos2x	, sin2	x	1 cos2x	.(3.1)
	2		2			2

Указанные преобразования применяются и в случае, когда под интегралом стоит только одна функция sinx или cosx (вторая имеет нулевую степень).

Пример 48. Найти интеграл sin5 x cos4 x dx.

Решение. m = 5, что соответствует случаю1. Делаем подстановку t = cos x,

dt = –sin x dx или sin x dx = –dt, sin 2 x 1 cos2 x 1 t2 ,						sin 4 x (1 t2 )2 :
sin5	x cos4 xdx sin4 x cos4			x sin xdx (1 t 2 )2 t 4 dt t 4 2t6 t8dt
t5	2 t7	t6	C 1 cos5	x 2 cos7	x 1 cos9 x C.
5	7	9	5	7	9

cos7 x

Пример 49. Найти интеграл sin4 x dx .

Решение. n = 7, что соответствует случаю2.

Делаем подстановкуt = sin x,

dt = cos x dx, cos2x = 1 – sin2x = 1 –t:, cos6x = (cos2x)3= (1 –t2)3:

cos7 xdx

cos6 x cosx dx

(1 t 2 )3

1 3t 2 3t 4 t6

sin

3 t 2dt

3 3t t3 C

3sin x sin3 x C.

t 2

3t3

3sin3

sin x

Пример 50. Найти интеграл cos4 xsin2 x dx .

Решение. m = 2, n = 4 – положительные чётные числа, что соответствует

случаю3. Применяем формулы понижения порядка (3.1).

cos4 xsin2 xdx (cosxsin x)2 cos2 xdx

1 sin2 2x 1 cos2x dx

sin2 2xdx 1 sin2 2xcos2xdx

1 1 cos4x dx

sin2 2xd(sin 2x)

cos4xdx sin3 2x

sin 4x

sin3

2x C.

	Пример 51.		cos2 3x dx 1 cos6x dx				1 dx	1	cos6x dx
				2			2	2
1	dx 1	1 cos6x d(6x) 1 x			1	sin 6x C.
1	dx 1	1 cos6x d(6x) 1 x				sin 6x C.
2	2	6	2	12
	При нахождении интеграла от произведения синусов и косинусов различ-
ных аргументов применяется одна из трех формул:
	cos mx cos nx 0,5 cos(m n)x cos(m n)x ;
	sinmx cosnx 0,5 sin(m n)x sin(m n)x ;
	sin mx sin nx 0,5 cos(m n)x cos(m n)x .
Пример 52.		sin 7xsin 2xdx 1 cos 9x cos 5x dx							1	sin9x		1	sin 5x C.
Пример 52.		sin 7xsin 2xdx 1 cos 9x cos 5x dx								sin9x			sin 5x C.
			2						18		10

3.2. Определённый интеграл

Пусть на отрезке [a,b] определена функцияf(x). Разобьём этот отрезок на n

произвольных частей (отрезков)точками a x0

x1 x2 ... xn b .

x0 1

x1 2 x2

xi –1

xn–1 n

…

Длины полученных отрезков

xi xi xi 1 , i = 1,…,n. Обозначим наиболь-

шую длину из них max xi . Возьмём на каждом из отрезков [xi-1,xi] произ-

1 i n

вольным образом точку i

: i [xi 1; xi ] и составим сумму

f ( 1 ) x1

f ( 2 ) x2

... f ( n ) xn f ( i ) xi .

(3.2)

i 1

Сумма такого вида называется интегральной суммой функции f(x) на [a,b].

Если существует конечный предел интегральной суммы (3.2) при

0 , не зависящий ни от способа разбиения отрезка, ни от выбора точек

i то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x)

по отрезку [a,b] и обозначается:

b		n
f (x)dx lim		f ( i ) xi .
a	0	i 1

Сама функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b] подынтегральной функцией, a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования, х – переменная интегрирования.

Справедлива теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного (бесконечного) промежутка интегрирования и на некоторые классы не-

ограниченных функций (несобственные интегралы), а также на функции многих переменных (кратные, криволинейные, поверхностные интегралы).

Свойства определенного интеграла

b		b	b	b	b
b		b	2. ( f1 (x) f2 (x))dx f1 (x)dx f2 (x)dx;
1. Af (x)dx A f (x)dx;			2. ( f1 (x) f2 (x))dx f1 (x)dx f2 (x)dx;
a		a	a	a	a
a		a
a			b	a
3. f (x)dx 0;			4. f (x)dx f (x)dx;
a			a	b
b	c	b
5. f (x)dx f (x)dx f (x)dx , гдеa, b, cпроизвольные числа;
a	a	c
			b	b
6. Если f(x) (x) на отрезке [a, b], то f (x)dx (x)dx ;
			a	a

7. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции

f(x) на отрезке [a, b], то: m(b a) f (x)dx M (b a)

8. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на

	b
этом отрезке существует точка такая, что f (x)dx (b a) f ( )
	a
a	a
9. Еслиf(x) четная функция, то f (x)dx 2 f (x)dx .
a	0
	a
Если f(x) нечетная функция, то	f (x)dx 0 .

Вычисление определённого интеграла

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона–Лейбница:

ab f (x) dx F(x) ba F(b) F(a) ,

где F(x) – любая первообразная функция функции f (x) на отрезке [a, b].Поскольку первообразную можно взять любую, то ее берут без константы интегрирования С (С = 0). Для нахождения первообразной используются все методы нахождения неопределенных интегралов.

Замена переменной в определённом интеграле

При вычислении определённых интегралов методом замены переменной интегрирования (метод подстановки), как правило, производится вычисление новых пределов интегрирования (т.е. вычисляются значения новой переменной в точках aиb) и возврата к старой переменной не производится.

Пример 53. Вычислить интеграл	9		dx		.


		1		x
1		1		x

Решение. Производим подстановку t = x , x = t2, dx = 2t dt. Находим новые пределы интегрирования: x = 1 t = 1 = 1; x = 9 t = 9 = 3. Получаем:

	9		dx			3	2t dt		3 t 1 1dt			3		1		3

					=			= 2			= 2		1		dt 2 t ln \| t 1\|	1


1		1 x		1			1 t	1		t 1	1			t 1
2 3 ln \| 3 1\| 1 ln \|1 1\| 4 2 ln 2 ln 4 4 2ln 2.

Интегрирование по частям в определённом интеграле.

bu dv uv

bv du,

где uv

ba u(b)v(b) u(a)v(a) .

Пример 54. Вычислить интеграл 1 xexdx .

Решение.

xexdx

u x

du dx

v du

dv e

dx e

xex

1 exdx xex

1 e1

0 e1 e0 1

Вычисление площадей плоских фигур

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x) (f (x) ≥ 0), слева и справа прямыми x = a, x = b, снизу – отрезком [a, b] оси Ox. Ее площадь равна

						S b f (x) dx.
						a
Это называется геометрическим смыслом определённого интеграла.
		Если f (x) ≤ 0 при x [a, b], то
						S b \| f (x) \|dx. b f (x) dx.
						a			a
						Пример 55. Найти площадь фигуры, ограниченной
	y					Пример 55. Найти площадь фигуры, ограниченной
	y					осью Ox, графиком функции y x2 и прямой x = 2.
			y = x2
			y = x2
						Решение. Роль неуказанной в условии левой гра-
						ницы криволинейной трапеции играет точка пересечения
						графика функции y x2 с осью Ox. Получаем:
				x = 2		графика функции y x2 с осью Ox. Получаем:
						S 02x2 dx	x3	2	8 .


					x
						3		0	3
						3		0
	Пример 56. Вычислить площадь фигуры,								ограниченной линиями y = x + 1,
y =cos x и осью Ox.
						39

						Решение. Разобьем фигуру на две части, яв-
	y					Решение. Разобьем фигуру на две части, яв-
	y
						ляющиеся криволинейными трапециями.
			y = cos x

										0 x 1dx / 2 cosx dx
						S S1 S2

y = x + 1
y = x + 1										1		0
	S1	S2			x		2		0





						x					/ 2	1
				/2				x		sin x	0		1 1 1,5.
				/2				x		sin x	0		1 1 1,5.
						2			1			2
						2						2

Пример 57. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ox, графиком функции y sin x и прямыми x = – /2и x = /2.

y = sin x

–/2

Решение. S / 2

| sin x |dx 0

sin xdx

/ 2

sin xdx cosx

0 / 2

cosx

/ 2

1 0

1 2.

cos0 cos

cos

cos0

Если фигура ограничена прямыми x = a, x = b и кривыми y = f1(x), y = f2(x) причём f1(x) ≤ f2(x), то её площадь вычисляется по формуле

									S				b f (x) f (x) dx.
												a		2		1
														2		1
	Пример 58. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой x + y = 1 и
			2				параболой y x								2	1.
		y	2												2
		y	y = x		– 1
			y = x		– 1
									Решение. Найдём абсциссы точек пересечения
									Решение. Найдём абсциссы точек пересечения
							графиков y = 1 –x									и y x2			1. Для этого решим относи-
							тельно x систему уравнений:

							y x			2	1 x2
							y x				1 x2					1 1 x, x2 x 2 0,
						x	y 1 x
			x = 1 – x			x	y 1 x						x1 2, x2 1.
			x = 1 – x				получаем
																							1

S	1			2	1) dx			1				2					x	3		x	2




		1 x (x							x														4,5
		1 x (x							x				x 2 dx				3			2		2x	4,5
2							2										3			2			2
2							2

3.3. Несобственные интегралы

Несобственными интегралами называются 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.

Несобственным интегралом первого рода от функции y f (x) в преде-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.201992.67 Кб2Методические указания по практике 2012.doc
#
01.07.202573.22 Кб0Методические указания по практике.doc
#
01.04.202527.83 Кб0Методические указания по практическим работам.docx
#
01.07.2025333.31 Кб1Методические указания Экономика предприятия.doc
#
23.11.201910.08 Mб6Методические указания №43.rtf
#
27.03.20151.46 Mб8Методические указания. Понятов.pdf
#
22.09.2019251.73 Кб1Методическое пособие ;Авторские смены СПО Ювент...docx
#
11.11.2019266.24 Кб21Методическое пособие по культуре речи.doc
#
01.07.20253.8 Mб0Методическое пособие.doc
#
01.03.20253.59 Mб0методическое указание №4.doc
#
27.03.201571.17 Кб19методичка П.о.doc