Методические указания. Понятов

3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3.1. Неопределённый интеграл

3.1.1.Основные понятия

Напомним, дифференцирование – это операция нахождения производной

функции или её дифференциала. Операцию, обратную к операции дифференцирования, т.е. операцию нахождения функции F(x) по ее производной f (x) или дифференциалу f(x)dx называют интегрированием функции или нахождением

неопределенного интеграла и обозначают f (x)dx .

Функция F(x), удовлетворяющая условию f (x) = F (x), называется перво- для f (x).Таким образом, интегрирование есть нахождение первообразной. Поскольку (F(x) + C) = F (x) = f (x), то выражение (F(x) + C), где C –

любая постоянная, тоже является первообразной. Поэтому можно записать

f (x)dx F(x) С

Итак, если F(х) есть первообразная для f(х), то выражение F(x) + C, называет-

ся неопределенным интегралом. При этом знак называют знаком интеграла, х– переменной интегрирования, f(х) – подынтегральной функцией, f(х)dx – подынтегральным выражением.

Например, (x5) = 5x4, следовательно, функция F(x) = x5 является первообразной для f(х) = 5x4, и (x5 + С) является неопределенным интегралом от 5x4, т.е.

5x4dx x5 С .

4)Af (x)dx A f (x)dx , где A – постоянная;

5)f (x) g(x)dx f (x)dx f (x)dx ;

6)Если f (x)dx F(x) С и t t(x) , то f (t)dt F(t) С .

Отметим, что свойство 6 является основой интегрирования с помощью замены переменных (подстановки).

Для вычисления интегралов также используется таблица основных не-

определённых интегралов от элементарных функций (их часто так и называют табличными):

22

Таблица 3.1

Примечания: 1) во всех формулах а – некоторое число; 2) переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (см. свойство 6).

Основные методы интегрирования

3.1.2.Табличное интегрирование

Данный метод заключается в том, что путём тождественных преобразо-

ваний подынтегрального выражения и применения свойств неопределённого интеграла исходный интеграл сводится к табличным интегралам.

Пример28. Производим деление слагаемых числителя на знаменатель

Пример 30. Вынос множителя, подведение под табличный интегралXI.

3.1.3.Интегрирование методом подстановки (замены переменной)

Данный метод заключается в том, что вводится новая переменная интег-

рирования t = (х), которая сводит исходный интеграл по х к табличному или более удобному для интегрирования интегралу по новой переменнойt. После вычисления интеграла по tнужно вернуться к переменной x. Не существует универсального правила для выбора подстановки в каждом конкретном случае, можно только сформулировать следующие полезные подсказки.

При выборе подстановки следует учитывать, что dxнадо будет выразить черезdt. Поскольку dt = (х)dx,то исходный интеграл должен содержать как функцию (х), так и ее дифференциал (х)dx (с точностью до постоянного множителя). Таким образом, исходный интеграл должен иметь вид

А f (x) (x) dx А f t dt

В соответствии с этим можно сформулировать более простые советы

1) Если под знаком интеграла стоит сложная функция f (x) , то, как

правило, используется подстановка t = (х). Например, если там стоит функция sin(x3), то стоит попробовать подстановку t = x3и т.д.

2) Если под знаком интеграла стоит дифференциал функции (x) , т.е. выражение (x) dx d , то стоит попробовать подстановку t (x)

.Целесообразно помнить дифференциалы основных элементарных функций:

Заметим, что для нахождения dх необязательно выражать х через t. Можно найти dt, и выразить dх из полученного выражения. В данном случае

24

t5x 3, dt 5x 3 dx 5dx или окончательно, как и ранее, dx 15 dt .

Вподобных простых интегралах часто используется приём "подведение под знак дифференциала": (x) dx d , позволяющий сократить запись

за счет ввода новой переменной в уме. Например

замена переменной t 3x 2 произведена в уме. Легко видеть, что если мыс-

ленно заменить 3х + 2 на t, то получим табличный интеграл dtt ln | t | C .

Проделав промежуточные действия в уме, сразу записываем ответ.Если в уме вам трудно, то произведите полную запись указанной замены переменной.

Этот интеграл является частным случаем интегралов вида

Здесь в числителе дроби стоит производная знаменателя с точностью до постоянного множителя. Для интегрирования надо внести знаменатель под знак дифференциала или сделать замену знаменателя на новую переменную.

Легко видеть, что здесь (3х2 + 5) = 6х, т.е. числитель – есть производная знаменателя, умноженная на 6. Можно было найти этот интеграл заменой

t 3x2 5, dt (3x2 5) dx 6x dx x dx 16 dt

Обратите внимание, что здесь удобнонайти dt, и выразить через dt стоящую в интеграле часть дифференциала заменяемой функции. В данном случае xdx.

25

Здесь использован стандартный дифференциал sin x dx d(cosx) , и произведены в уме замена переменной t cos x , и вычисление интеграла t 2dt .

Важно! Приведем примерный ход рассуждений, которым вы должны руководствоваться при введении новой переменной.

дую из которых можно заменить на новую переменную t. При этом надо помнить, что интеграл должен содержать как саму заменяемую функцию, так и ее дифференциал с точностью до постоянного множителя. Если t = sinx, то в интеграле должен присутствовать d(sinx) = cosxdx. Поскольку cosx dx в данном интеграле отсутствует, то такая подстановка невозможна. Если же t = cosx, то в интеграле должен присутствовать d(cosx) = –sinxdx. Поскольку sinx dx в данном интеграле присутствует (с точностью до множителя –1), то такая подстановка возможна. Находим интеграл.

Здесь также удобно найти dt, и выразить через dt стоящую в интеграле часть дифференциала заменяемой функции. В данном случае sinxdx.

Пример 35.Найти интеграл x x 3 dx .

1

Решение. Введем t x 3 (x 3)2 , x 3 t 2 , x t 2 3, dx 2t dt .

В некоторых случаях перед подстановкой необходимо провести определенные преобразования

26

В данном примере использован метод выделения полного квадрата, т.е. выражения (х+ а)2 = х2 + 2ах +а2. В данном примере 2ах = 3х откуда а = 3/2 и а2 = 9/4. Использовано подведение под знак дифференциала и t = х+ 3/2.

3.1.4.Метод интегрирования по частям

Пусть u(x) иv(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда

справедливо равенство, называемое формулой интегрирования по частям:

udv uv vdu .

Такое название связано с тем, что в исходном интеграле подынтегральное выражение надо разбить на две части. Ту, которая не содержит dx, обозначают u(x), а все остальное вместе с dx обозначают dv. Метод применяют в тех случаях, когда интеграл справа проще исходного или совпадает с ним.

В частности, этот метод применяют, когда под знаком интеграла стоит произведение многочлена на одну из функций sin x, cos x, ax, еx, loga x, ln x, arcsin x, arctg x.Если подынтегральная функция содержитsin x, cos x, ax, еx,интеграл от которых является табличным, то за u(x) берут многочлен. Например, для Pn(x) sin (ax+b) dxберутu(x) = Pn(x), dv= sin (ax+b) dx. Если степень многочленаn >1, то формулу интегрирования по частям применяют несколько раз. При каждом применении степень многочлена в остающемся интеграле уменьшается на единицу, и в результате многочлен исчезнет.

Если подынтегральная функция содержит loga x, ln x, arcsin x, arctg x, то именно эти функции берутся за функцию u(x).

Примечание. При нахождении v(x) принимается С = 0.

x2 cos x ( cos x) 2xdx x2 cos x 2 x cos x dx.

После первого применения формулы интегрирования по частям получен более простой интеграл. Для его вычисления применим метод ещё раз:

x sin x sin x dx x sin x cos x C.

Окончательно получаем

x2 sin x dx x2 cosx 2(xsin x cosx) C x2 cosx 2xsin x 2cosx C.

3.1.5.Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов, т.е.

R(x) Pn (x) , где Pn(x) – многочлен степени n, Qm(x) – многочлен степени

Qm (x)

m.Напомним, многочлен, это выражение вида Pn(x)=anxn +an-1xn-1 +…+a1x +a0. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в

числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. n < m, в противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя

правильная рациональная дробь, многочлены I(x) –целая часть, R(x) – остаток

вен сумме табличных интегралов вида xn dx , то задача интегрирования непра-

28

вильной рациональной дроби сводится к интегрированию правильной рациональной дроби.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные ра-

циональные дроби следующих четырех типов:

где A, B, a, p, q – действительные числа, n – целое число, большее единицы, и квадратный трёхчлен x2 + px + q не имеет действительных корней (т.е. дискриминант квадратного трехчлена отрицателен:D = p2 – 4q < 0).

Интегралы от простейших дробей известны:

Интегрирование простейшей дроби типа III рассмотрено в примере 43. Интегрирование простейшей дроби типа IVможно найти в литературе.

Интегрирование правильных рациональных дробей основано на том, что их всегда можно представить в виде суммы простейших дробей (раз-

ложить на простейшие дроби). Эту сумму будем называть разложением.

Для этого нужно знаменатель правильной рациональной дроби Q(x)разложить на неповторяющиеся линейные и квадратичные множители:

Q(x) (x a1)n1 (x a2 )n2 ... (x2 p1x q1)k1 (x2 p2 x q2 )k2 ...,

где показатели степеней ni, kj – натуральные числа,Di = pi2 – 4qi < 0.

A

В разложении каждому множителю (x – a) соответствует дробь x a

,каждому множителю (x – a)n соответствует сумма n простейших дробей

множителю (x2 + px + q)k соответствует сумма k простейших дробей:

Коэффициенты A1, … , An, B1… , Bk, C1… , Ck находятся методом неопределённых коэффициентов или частных значений (см. примеры).

Для интегрирования правильной рациональной дроби, надо разложить её на сумму простейших, а затем интегрировать каждое слагаемое.

29

веркой делителей свободного члена 8. Получаем три корня x1 = 1, x2 = 2,x3 = 4. Следовательно, x3 7x2 14x 8 (x 1)(x 2)(x 4) .

где А, В, С – неизвестные (неопределенные) коэффициенты, которые необходимо найти. Для этого приведем дроби справа к общему знаменателю

и приравняем числители:

A(x 2)(x 4) B(x 1)(x 4) C(x 1)(x 2) x2 2x 6

Нахождение А, В, Сможет быть сделано двумя методами.

Метод неопределенных коэффициентов основан на теореме: если мно-

гочлены в обеих частях равенства тождественно равны, то должны быть равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Раскроем скобки, сгруппируем члены по степеням х и получим систему:

(A B С)x2 (6A 5B 3C)x (8A 4B 2C) x2 2x 6