ДПиДМО

и

400λ + 144(1 – λ) ≥ 144λ + 400(1 – λ)

имеют место, например, при λ = 0,9. Оценка (17, 17) в множество US2 (d М) входит, ибо неравенства

289λ + 289(1 – λ) ≥ 400λ + 144(1 – λ)

и

289λ + 289(1 – λ) ≥ 144λ + 400(1 – λ)

имеют место, например, при λ = 0,5. Оценка (12, 20) в множество US2 (d М) входит, ибо неравенства

144λ + 400(1 – λ) ≥ 400λ + 144(1 – λ)

и

144λ + 400(1 – λ) ≥ 289λ + 289(1 – λ)

имеют место, например, при λ = 0,1.

Таким образом, множества US2 (d М) и d U S2 (М) не совпадают, оператор U S2 консервативным не является. Теорема до-

казана.

Если используемый оператор выбора U консервативен, то для каждой конкретной моделируемой системой Ω+ бикритериальной задачи Z синтез совокупности оценок, выделяемых оператором U из полной совокупности E(Z ), можно осуществлять использованием рекуррентных соотношений (4.69), (4.70), адаптированных для задачи Z.

В качестве иллюстрации рассмотрим вопрос построения полной совокупности s-оценок для бикритериальной задачи о ранце.

241

Определяя для этой задачи полную совокупность эффективных оценок основанным на ранее записанных соотношениях

алгоритмом Aранецмк , заполняем табл. 4.3.

При синтезе для задачи (4.79)–(4.82) полной совокупности s-оценок используем соотношения

В процессе вычислений заполняем табл. 4.4. Отличие процедуры счета по соотношениям (4.83), (4.84) от процесса счета по соотношениям (4.46), (4.47) в том, что при заполнении каждой очередной клетки таблицы получаемое множество оценок – условно обозначим его M – заменяется подмножеством US (M ); подмножество US (M ) на последующих этапах работы алгоритма используется как заменитель множества M. Итогом работы примененной к исходным данным задачи (4.79)–(4.82) и основанной на соотношениях (4.83), (4.84) процедуры является множество

EUS (6,10) .

242

Так как оператор U S консервативен, найденное множество

EUS (6,10) = {(16, 7), (13, 11)} – полная совокупность s-оценок в

рассматриваемой задаче.

Выполним соответствующую проверку. Как показывает заполнение табл. 4.3, полная совокупность эффективных в (4.79)– (4.82) оценок трехэлементна: (16, 7), (14, 9) и (13, 11). Оценки (16, 7) и (13, 11) являются s-оценками, ибо в задаче (4.79)–(4.82)

они – крайние оценки. Оценка (14, 9) s-оценкой не является, так как неравенства

14λ + 9(1 – λ) ≥ 16λ + 7(1 – λ), 14λ + 9(1 – λ) ≥ 13λ + 11(1 – λ)

не выполняются одновременно ни при каком значении λ. Множество US ({(16, 7), (14, 9), (13, 11)}) действительно совпадает с

EUS (6,10) .

Таблица 4 . 3

Таблица эффективных оценок для задачи (4.79)–(4.82)

243

Таблица 4 . 4

Таблица s-оценок для задачи (4.79)–(4.82)

Задачи к главе 4

1. Методом последовательных уступок построить полную совокупность эффективных оценок для задачи о назначениях с двумя неоднотипными максимизируемыми критериями

Для каждой эффективной оценки указать порождающее ее Па- рето-оптимальное решение. Исходная информация по задаче считается определенной парой матриц

244

2.Предыдущую задачу решить с использованием рекуррентных соотношений бикритериального динамического программирования.

3.Используя метод последовательных уступок, найти две крайние оценки и по одной эффективной оценке, соседней с каждой крайней оценкой, для задачи о назначениях с максимизи-

ная информация по задаче считается определенной парой матриц

4.Предыдущую задачу решить с использованием рекуррентных соотношений бикритериального динамического программирования.

5.Алгоритмом Aранецмк построить полную совокупность эф-

фективных оценок для трехкритериальной задачи о ранце

7х1 + 3х2 +6х3 + 9х4 + х5 + 4х6 → max, 4х1 + 4х2 + 4х3 + 2х4 + 4х5 + 6х6 → max, х1 + 5х2 + х3 + 5х4 + 5х5 + 3х6 → max

при условиях

2х1 + х2 + 2х3 + 4х4 +3х5 + 2х6 ≤ 10;

хi {0, 1}, i=1, 5.

Для каждой эффективной оценки указать порождающее ее Парето-оптимальное решение.

245

6.Предыдущую задачу решить методом последовательной генерации списков.

7.Задача однопроцессорного обслуживания множества заявок определяется следующими исходными данными: обслуживанию подлежат заявки 1, 2, 3, 4, 5; продолжительности обслу-

живания заявок: τ(1) = 3, τ(2) = 2, τ(3) = 4, τ(4) = 1, τ(5) = 2; функ-

ции индивидуального штрафа по заявкам: ϕ1(t) = 4t2, ϕ2(t) = 3t,

ϕ3 (t) = t2 + t, ϕ4 (t) = t2 + 2t, ϕ5 (t) = t3 + 1. Рассматриваются два минимизируемых критерия – суммарный штраф по всем заявкам

и максимальный из индивидуальных штрафов. Требуется построить полную совокупность эффективных оценок. Для двух крайних оценок указать порождающие их Парето-оптимальные решения.

8. Пусть M – множество оценок в произвольной бикритериальной задаче. Является ли консервативным оператор Uλ,q (M ),

который для каждой оценки (х, у) из М вычисляет характеристику λх + (1 – λ)у, упорядочивает множество оценок M по убыванию указанной характеристики и далее выбирает из M оценки, стоящие на q первых местах (здесь λ – произвольная константа из интервала (0, 1), q – произвольная натуральная константа)?

9. Для задачи о ранце

7х1 +2х2 + 6х3 + 9х4 + х5 + 4х6 → max, х1 + 5х2 + х3 + 5х4 + 5х5 + 7х6 → max

при условиях

2х1 + х2 + 2х3 + 4х4 + 3х5 + 2х6 ≤ 10;

хi {0, 1}, i=1, 5 ;

построить полную совокупность s-оценок.

10. Для бикритериальной задачи о назначениях с критерия-

246

ность s-оценок. Исходная информация по задаче считается определенной парой матриц

247

14.Кристофидес, Н. Теория графов. Алгоритмический подход / Н. Кристофидес. – М.: Мир, 1988. – 432 с.

15.Липский, В. Комбинаторика для программистов / В. Липский.

– М.: Мир, 1978. – 213 с.

16.Мальцев, А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И.

Мальцев. – М.: Наука, 1965. – 391 с.

17. Меламед, И. И. Исследование линейной свертки критериев в бикритериальной задаче о ранце / И.И. Меламед, И.Х. Сигал, Н.Ю. Владимирова // Журнал вычислительной математики и ма-

тематической физики. – Т. 39, №5. – 1999. – С. 753–758.

18.Пападимитриу, Х. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность / Х. Пападимитриу, К. Стайглиц. – М.: Мир, 1985. – 510 с.

19.Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. – М.: Наука, 1982. – 254 с.

20.Рубинштейн, М. И. Об алгоритмах решения задачи о назначении / М.И. Рубинштейн // Автоматика и телемеханика.1981. №7.

С. 145 – 154.

21.Сигал, И. Х. Введение в прикладное дискретное программирование / И.Х. Сигал, А.П. Иванова. – М.: Наука, 2002. – 237 с.

22.Танаев, В. С. Теория расписаний. Одностадийные системы / В.С. Танаев, В.С. Гордон, Я.М. Шафранский. – М.: Наука, 1984. – 382 с.

23.Танаев, В. С. Теория расписаний. Многостадийные системы / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков, В.А. Струсевич. – М.: Наука, 1989. – 328 с.

24.Танаев, В. С. Введение в теорию расписаний / В.С. Танаев,

В.В. Шкурба. – М.: Наука, 1975. – 256 с.

25.Финкельштейн, Ю. Ю. Приближенные методы и прикладные задачи дискретного программирования / Ю.Ю. Финкельштейн. –

М.: Наука, 1976. – 264 с.

26.Хедли, Дж. Нелинейное и динамическое программирование /

Дж. Хедли. – М.: Мир, 1967. – 506 с.

27.Юдин, Д. Б. Линейное программирование / Д.Б. Юдин, Е.Г. Гольштейн. – М.: Наука, 1969.

28.K l a m r o t h , K . Dynamic Programming Approaches to the Multiple Criteria Knapsack Problem / K. Klamroth, M. Wiecek // Technical Re-

249

port No 666. Dept. of Math. Sc., Clemson University. Clemson, SC. 1998. (www.math.clemson.edu/affordability/publications/kla-wie3.ps)

250