26. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие искомой функции.

1) . Обозначим,. Если существует один действительный корень, то общий интеграл записывается в виде:,.

2)

• Разрешим относительно производной: ,,

• Разрешим относительно :,,,, общее решение примет вид

• Параметризуем ,,, обшее решение

Замечание: всегда можно представить , подставить в уравнение и выразитьи.

27. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие независимой переменной.

• Разрешим относительно производной:

. Общее решение

• Введем параметр , разрешим относительно функции:

,,,,,. Общее решение

• Параметризуем: ,

,,,. Общее решение

28. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Общий случай.

• Разрешим относительно производной: . Решаем каждую из ветвей и объединяем их решения в общее

• Разрешим относительно :. Введем параметр,

,,

Пусть общее решение найдено как ,- общее решение в явной форме.

Пусть общее решение найдено как ,- общее решение в параметрической форме.

• Разрешим относительно :. Введем параметр,

,,

Пусть общее решение найдено как ,- общее решение в явной форме.

Пусть общее решение найдено как ,- общее решение в параметрической форме.

• Параметризуем уравнение по полной: ,,,

,

. Пусть общее решение найдено в виде, тогда. Пусть общее решение найдено в виде, тогда.

29. Ду Лагранжа

-ДУ Лагранжа.

Предположим, что одновременно,- непрерывные. Пусть, тогда разрешим уравнение относительно:. Пусть, тогда,,,. Если, то можно разрешить по:. Получено линейное уравнение первого порядка, оно всегда интегрируемо в квадратурах, поэтому ДУ Лагранжа также всегда интегрируемо в квадратурах.

Пусть найдено общее решение , тогда общее решение ДУ Лагранжа имеет вид.

Если есть такие , что, тогдабудут решениями.- это так называемые интегральные прямые уравнения Лагранжа. Среди них могут быть особые решения.

30. Ду Клеро

-ДУ Лагранжа.

Предположим, что одновременно,- непрерывные. Пусть, тогда разрешим уравнение относительно:. Пусть, тогда,,,. Если, т.е.и ДУ имеет вид, то этоДУ Клеро.

Решим введением параметра :,,

Если , то, и- общее решение ДУ Клеро (прямые).

Если ,,,

, значит, это решение. Если заменитьнас, то получим общее решение уравнения Клеро. Найдем кривые, подозрительные на особое решение с помощью огибающей:

,,- решение (*). Возьмеми параметр:,, значит,., значит, (*) – особое решение.

Существует сокращенный способ решения ДУ Клеро. Общее решение получается заменой . Особое решение – огибающая этого семейства прямых. Если, т.е., то вместо особого решения имеем особую точку, через которую проходят все интегральные прямые.