1. Основные понятия о ДУ. Обыкновенные ДУ и в частных производных. Порядок ДУ. ДУ, разрешенные и неразрешенные относительно производной. Системы ДУ. Математические модели динамических систем в форме обыкновенных ДУ.

2. ДУ 1 порядка, разрешенные относительно производной. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.

3. Геометрическая интерпретация ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Поле направлений. Интегральная кривая. Геометрический смысл задачи Коши. Обыкновенная и особые точки.

4. Качественное исследование ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Изоклины. Линия экстремумов и линия перегибов интегральных кривых.

5. Особые решения ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Способы их отыскания.

6. ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными и приводимые к ним.

7. Однородные ДУ 1 порядка

8. ДУ 1 порядка, приводимые к однородным.

9. Линейные ДУ 1 порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольной постоянной.

10. ДУ 1 порядка, приводимые к линейным. ДУ Бернулли и Риккати

11. ДУ 1 порядка в полных дифференциалах.

12. Интегрирующий множитель ДУ 1 порядка. Способы его нахождения. Связь с особыми решениями. Число интегрирующих множителей данного уравнения

13. Интегрирующий множитель для ДУ с разделяющимися переменными, однородного и линейного.

14. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Метод последовательных приближений Пикара построения решения.

15. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Доказательство сходимости пикаровских приближений к непрерывной функции.

16. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Доказательство сходимости пикаровских приближений к решению задачи Коши.

17. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, разрешенного относительно производной. Доказательство единственности решения. Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши.

18. Теорема о продолжении решения задачи Коши. Продолжаемые и непродолжаемые решения.

19. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.

20. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий.

21. Степень гладкости решения задачи Коши. Дифференцируемость решения по начальным данным и параметрам.

22. Численные методы интегрирования ДУ 1 порядка. Методы первого и второго порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Особенности численного моделирования решения ДУ.

23. Уравнения 1 порядка, не разрешенные относительно производной. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Поле направлений. Постановка задачи Коши.

24. Теорема Коши-Пикара для ДУ 1 порядка, не разрешенного относительно производной.

25. Особые решения ДУ 1 порядка, не разрешенного относительно производной. Способы отыскания. Дискриминантная кривая. Огибающая семейства интегральных кривых.

26. Методы интегрирования ДУ 1 порядка, не разрешенных относительно производной. Уравнения, не содержащие искомой функции.

27. Методы интегрирования ДУ 1 порядка, не разрешенных относительно производной. Уравнения, не содержащие независимой переменной.

28. Методы интегрирования ДУ 1 порядка, не разрешенных относительно производной. Общий случай.

29. ДУ Лагранжа

30. ДУ Клеро

1. Основные понятия о ду.

ДУ– уравнения, в которые входят не только неизвестные функции, но и их производные. Если искомая функция зависит от одной независимой переменной, то такое ДУ – обыкновенное. Если же она зависит от нескольких переменных, то это уравнение в частных производных.

Может рассматриваться как одно ДУ, так и их система.

Обыкновенное ДУ– соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функциюи ее производную.

ПорядокДУ – порядок старшей производной.

Решение- функция, непрерывная,раз дифференцируемая и обращающая уравнение в тождество.

ДУ используются при построении математических моделей динамических систем.

Динамическая система– система, эволюционирующая с течением времени и допускающая описание в виде состояния.

Состояние– описание, по значению которого в данный момент времени можно однозначно указать, значение в любой момент времени., где- однозначный оператор. Переменные, описывающие состояние –фазовые. Пространство фазовых переменных –фазовое.

Предполагается, что между состояниями динамической системы и точками фазового пространства установлено взаимнооднозначное и взаимнонепрерывное соответствие.

Математическая модельдинамического процесса – совокупность фазового пространства, интервала изменения времении оператора.

Этапы построения матмодели:

1. Выбор и идеализация

2. Выбор переменных, характеризующих состояние и введение систем их отсчета.

3. Выбор физического закона и построение оператора .

4. Построение приведенной модели.

2. Ду-1-проп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.

-уравнение разрешенноеотносительно производной.Решение– непрерывная и дифференцируемая функция, обращающая уравнение в тождество.

Задача Коши:.

Рассмотрим уравнение .-общее решение. Пусть поставлена задача Коши, тогда-частное решение.

Общий интеграл:.

Общее решение может быть записано в форме Коши. Роль произвольной постоянной играетпри некотором значении, т.е. надо решить задачу Коши.

;;- общее решение в форме Коши.

Теорема Коши-Пикара:пусть дано уравнениеи поставлена задача Коши. Если в областивыполняются условия: 1)определена и непрерывна по всем переменным; 2), где- константа Липшица. Тогда задача Коши имеет одно решение, определенное, непрерывное и непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности, где.

Достаточное условиевыполнение условия Липшица – существование.

Доказательство:по т. Лагранжа.

.

Теорема Пеано:пусть дано уравнениеи поставлена задача Коши. Если в областифункцияопределена и непрерывна по всем переменным, то задача Коши имеет хотя бы одно решение.

3. Геометрическая интерпретация ду-1-проп. Поле направлений. Интегральная кривая. Геометрический смысл задачи Коши. Обыкновенная и особые точки.

Точка , в которой задача Коши имеет единственное решение называетсяобыкновенной, - где имеет неединственное решение или не имеет решения –особая.

В каждой точке единственным образом определено направление касательной к ИК. Уравнениезадаетполе направлений. В особой точке поле не определено. ИКне пересекаются. Если через точку проходит несколько решений, то они в этой точке касаются.

Геометрическая постановка задачи Коши: провести ИК через точку.

Геометрический смысл задачи Коши. Через точкупровести кривую, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

Во многих задачах переменные иравноправны, т.е. можно рассматривать не только, но и, и перейти к уравнению. Если, то уравненияиэквивалентны. Если,, то в точкеопределен вертикальный наклон.

Решение перевернутого уравнения учитывается при геометрическом построении ИК. При аналитическом решении перевернутое уравнение не рассматривается.