19. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.

Теорема:пусть функцияв областипри изменении параметров в конечной областиудовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности; 2); 3)не зависит от. Тогда можно указать промежуток, в котором задача Коши имеет единственное решение, непрерывно зависящее от параметров:определено единственное решениеи.

Доказательство:аналогично доказательству теоремы Коши-Пикара.

1. 

2. Рассмотрим последовательность пикаровых приближений:

Все оценки сохраняются, т.к. не зависит от параметров. Последовательность приближений, являющихся непрерывными функциями от, равномерно сходится к точному решению, непрерывному по.

20. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий.

Теорема:пусть дано- уравнение (1).- задача Коши (2). Пусть в областифункцияудовлетворяет теореме Коши-Пикара, тогда можно указать промежуток, в котором задача Коши (2) имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начального условия, т.е.

Доказательство:сведем вопрос о зависимости от начальных условий к вопросу зависимости от параметров:

, т.е.,,,.

Если , то по теореме о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров, задача Коши имеет единственное решение, непрерывно зависящее от-..

, т.е..

Решение, для которого близость сохраняется при любых больших значениях аргумента – устойчивое, т.е.

21. Степень гладкости решения задачи Коши. Дифференцируемость решения по начальным данным и параметрам.

Теорема:если в областиимеет непрерывные производные по обеим переменным до-го порядка, то всякое решение этого уравнения непрерывно и непрерывно дифференцируемее похотя быраз.

Степень гладкости решения задачи Коши по крайней мере на единицу больше степени гладкости правой части.

Теорема:пусть дано. В областипри изменении параметров в конечной областиудовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных, существует непрерывная; 3) существует непрерывные. Тогда задача Коши имеет единственное решение, которое определено на, непрерывно по совокупности переменныхи непрерывно дифференцируемо по начальным условиями параметрам.

22. Численные методы интегрирования ду 1 порядка. Методы I и II порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Особенности численного моделирования решения ду.

Прежде чем применять численные методы надо убедиться, что решение существует и единственно. Пусть дано уравнение и требуется найти нарешение задачи Коши. Разделим отрезок на части,. Рассмотримкак малую, и считая решение достаточно гладким, представимв виде ряда Тейлора:. Различные численные методы различаются числом учтенных членов разложения и степенью оценки производных.

Численные методы разделяются на одношаговые (на каждом шаге используется только одно предыдущее значение искомой функции) и многошаговые (несколько значений).

Порядок членов, учитываемых при аппроксимации – порядок метода.

Метод Эйлера (I порядка):. ИК приближаются ломаной, звенья которой состоят из отрезков касательных.

Метод улучшенной ломаной Эйлера (II порядка):,,

Метод Рунге-Кутта (IV порядка):,,,,.

Метод Рунге-Кутта в модификации Мерсона (V порядка):,,,,,. Этот метод позволяет регулировать шаг:. Если, то. Если, то. Если, то.

Метод Штермера (многошаговый II порядка):,,. Для начала вычисления надо знать значенияи.задается,вычисляется методом Рунге-Кутта или улучшенной ломаной Эйлера.

Погрешность: погрешность шага; погрешность накопления ошибок; ошибки конечноразрядной арифметики при использовании ЭВМ.

Оценки погрешности имеют сложный вид, так что, исходя из заданной точности выбирают шаг и производят вычисления. Берут шаги вычисляют. Если в общих точках значения совпадают с заданной точностью, то считают, что шаг обеспечивает точность.