11. Ду 1 порядка в полных дифференциалах.

- уравнение в полных дифференциалах, если.

Теорема:пустьиопределены в односвязной областиплоскости, одновременно не обращаются в 0 и имеют непрерывные частные производные по обеим переменным, а также. Тогда общий интеграл имеет види задача Коши имеет единственное решение.

Доказательство:если, то,, значит,и. Значит,- общее решение. Если поставлена задача Коши, тои.

Аналогично для .

Теорема:чтобы уравнениепри наложенных наиограничениях было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно выполнения.

Доказательство:1) необходимость

Пусть существует такая , что.инепрерывны. Продифференцируем их поисоответственно:,. Смешанные производные непрерывны, значит, равны и необходимость доказана.

2) достаточность

Найдем такую , что.. Найдем производную по.

,,

,,.

12. Интегрирующий множитель ду 1 порядка. Способы его нахождения. Связь с особыми решениями. Число интегрирующих множителей данного уравнения

Пусть не является уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель– функция, после умножения на которую, уравнение становится УВПД.- непрерывно дифференцируема.

Общий интеграл может содержать постороннее решение . В процессе решения может быть потеряно решение.

Будем искать в виде, где- заданная функция., тогда,.,,,,,

Теорема:еслив областиплоскостиимеет общий интеграл, то оно имеет интегрирующий множитель.

Доказательство:,,,,.

Теорема:пусть, в котороминепрерывны и непрерывно дифференцируемы в областиимеют интегрирующий множитель, т.е.. Тогда- тоже интегрирующий множитель.

Следствие:имеет бесконечно много интегрирующих множителей.

13. Интегрирующий множитель для ду с разделяющимися переменными, однородного и линейного.

Интегрирующий множитель– функция, после умножения на которую, уравнение становится УВПД.- непрерывно дифференцируема.

Общий интеграл может содержать постороннее решение . В процессе решения может быть потеряно решение.

Интегрирующий множитель для уравнения с разделяющимися переменными:

Интегрирующий множитель для однородного уравнения:

Интегрирующий множитель для линейного уравнения:

14. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Метод последовательных приближений Пикара построения решения.

- уравнение (1).- задача Коши (2)

Теорема Коши-Пикара:пусть дано (1) и поставлена задача Коши (2). Если в областиудовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных; 2) условие Липшица, то задача Коши имеет единственное решение, определенное, непрерывное, непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности,, где,.

Доказательство:

1. Сведение задачи Коши к интегральному уравнению

Утверждение 1:задача Коши (2) для уравнения (1) эквивалентна интегральному уравнению(3)

Доказательство:пусть для (1) задача Коши (2) решена, т.е.. Проинтегрируем:.. Пусть. Продифференцируем:,.

Следствие:если, то любое решение (3) находится внутри области.

Доказательство:

2. Метод последовательных приближений Пикара.

Построение решения (3). (4).

Утверждение 2:на интервалелюбое пикарово приближение определено, непрерывно и находится внутри, т.е.

Доказательство:определено и непрерывно, т.к.определена и непрерывна.

. Пусть это верно для-го, докажем для-го.

. Т.к., а, тоопределена и непрерывна в, значит, интеграл определен и непрерывен, также, как и-е приближение..