8. Ду 1 порядка, приводимые к однородным.

I.

Построим определитель . Возможны 2 случая:

1. , тогда замена, где- решение системыприводит к однородному уравнению

2. , тогда заменаприводит к уравнению с разделяющимися переменными.

;.;

II.Обобщенное однородноеуравнение – уравнение, не являющееся однородным, но приводимое к нему заменой. Чтобы найтинадо сделать замену и приравнять суммы степенейиво всех слагаемых. Если полученная система совместна, тонайдется. Иначе уравнение не является обобщенным однородным.

9. Линейные ду 1 порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольной постоянной.

Линейное уравнение. Предполагается, что,- непрерывные функции на. Если, тогда уравнение называется линейнымоднородным, иначе –неоднородным.

Теорема:еслиинепрерывны на, то уравнениев каждой точке полосыимеет единственное решение.

Доказательство:.- непрерывная, значит, теорема Коши-Пикара выполняется и теорема доказана.

Следствие:Линейное ДУIпорядка не имеет особых решений в области непрерывности коэффициентов.

Свойства ЛОДУ :

1. Существует тривиальное решение

2. Любое другое решение

3. (,, следовательно)

4. Если - частное решение, то и- частное решение

5. Если - частное решение, то общее решение.

Свойства ЛНДУ :

1. Теорема (о структуре общего решения):

Доказательство:пусть известно, т.е.. Сделаем замену, тогда.

;;.

Т.к в каждой точке их области непрерывности коэффициентов линейное уравнение имеет единственное решение, то достаточно доказать, что в любой точке может быть выделено частное решение.

Пусть , тогда.

2. Теорема(об интегрируемости в квадратурах): в области непрерывности коэффициентов общее решении линейного уравнения может быть найдено двумя квадратурами.

Доказательство:. Для вычисленияприменим метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Чтобы найтинадо продифференцироватьи подставить.

;.

3. Если известно одно - частное решение неоднородного уравнения, то общее решение находится квадратурой

4. Если ,- частные решения неоднородного уравнения, то общее решение соответствующего однородного уравнения.

Доказательство:;, значит,

5. Если известны ,- частные решения неоднородного уравнения, то его общее решение находится без квадратур.Доказательство:

Замечание:некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами функцию и независимую переменную. Некоторые уравнения решаются заменой переменных.

10. Ду 1 порядка, приводимые к линейным. Ду Бернулли и Риккати

-ДУ Бернулли. Пусть,- непрерывные функции на,.

Теорема:если, то уравнение Б. имеет тривиальное решение. Приуравнение не имеет особых подозрительных решений. При- подозрительное на особое.

Док-во:, непрерывная при.непрерывная при. Принепрерывность нарушается при.

Теорема:дляуравнение Б. заменойприводится к линейному ДУ.

, значит, тогда уравнение принимает вид.

Иногда уравнение приводится к виду Б. при перемене функции и переменной местами. Иногда уравнение приводится к виду Б. заменой переменных.

-ДУ Риккати.- специальное уравнение Р.

Теорема:если- непрерывны на, то уравнение Р. в каждой точке полосыимеет единственное решение.

Док-во:- непрерывная в области.непрерывная в области. По т. Коши-Пикара следует доказанность теоремы.

Следствие:уравнение Р. не имеет особых решений в области непрерывности коэффициентов.

В общем случае, уравнение Р. не интегрируется в квадратурах.

Теорема:если известнодля уравнения Р., то замена, где, приводит к уравнению Бернулли с.

Док-во: . Сделаем замену, тогдаи уравнение примет вид:или.

Иногда частное решение находится как .