4. Качественное исследование ду-1-проп. Изоклины. Линия экстремумов и линия перегибов интегральных кривых.

Качественное исследование– построение ИК, исходя из свойств, минуя нахождение общего решения.

Этапы качественного решения:

1. найти область определения с учетом

2. найти кривые, подозрительные на особое решение (нарушена непрерывность )

3. найти главные изоклины (геометрическое место точек, в которых наклон поля одинаков). ,

4. выделить область монотонности ИК. : ИК;: ИК.

5. установить симметрию ИК относительно осей координат. Если уравнение не меняется при замене наина, то есть симметрия относительно. Если уравнение не меняется при замененаина, то есть симметрия относительно.

6. Найти линию экстремумов ИК – геометрическое место точек , т.е. изоклина горизонтального наклона, если, то экстремум будет минимумом,- максимумом. Эти неравенства эквивалентныисоответственно.

7. Найти линию перегиба ИК, т.е. геометрическое место точек ()

5. Особые решения ду-1-проп. Способы их отыскания.

Особое решение– решение, содержащее континуум особых точек.

Чтобы найти кривые, подозрительные на особое решение, надо найти геометрическое место точек, в которых не действует теорема Коши-Пикара. Если они образуют одну или несколько кривых, то это – кривые, подозрительные на особое решение.

Проверка кривой , подозрительной на особое решение:

1. проверить, является ли она решением

2. подставляем в общий интеграл. Разрешаем это соотношение относительно. Возможны три случая:

• не существует, тогда- обыкновенное решение. По отношению к ИК из общего решения- асимптота, и ее уравнение надо приписать к общему решению

• , тогда- обыкновенное решение, ее уравнение не надо приписывать к общему решению.

• , тогда- особое решение. По отношению к ИК общего решения- огибающая (в каждой точке касается только одну кривую семейства и вся состоит из этих точек касания).

6. Ду 1 порядка с разделяющимися переменными и приводимые к ним.

I.

Теорема:пусть в областииопределены и непрерывны,, тогда общий интеграл дается квадратуройи задача Коши, гдеимеет единственное решение.

Доказательство:для любой точки изможет быть получено единственное решениеудовлетворяющее условию. Перепишемв виде:;;. Рассмотрим,.- непрерывная,- непрерывная. Длявыполняются условия теоремы о неявной функции, значит, найдется, обращающая уравнение в тождество:. Дифференцируем по:;;. Теорема доказана.

Если , то- решение, подозрительное на особое.

II.

Теорема:пусть в области:определены и непрерывны,,. Тогда общий интеграл дается квадратуройи задача Коши, гдеимеет единственное решение.

Доказательство:. Если, то. Сомножители непрерывны, значит, по предыдущей теореме- общий интеграл. Если, тои общий интеграл определяется аналогично. Теорема доказана.

Если , то- решение, подозрительное на особое. Если, то- решение, подозрительное на особое. Точка- особая.

III.

Такое уравнение решается аналогично предыдущему, но , если, не является решением, если.

IV.

Замена , где- новая неизвестная функция приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Иногда уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными некоторой заменой .

7. Однородные ДУ 1 порядка

или.

Уравнение -однородное, если- однородная функция нулевой степени однородности. Уравнение-однородное, если функцииоднородные одной степени однородности.

Функция -однородная степени , если.

Свойства однородного уравнения:

1. Для

2. Точка - особая

3. Изоклины – прямые, проходящие через .

4. ИК симметричны относительно .

Теорема:однородное уравнение длязаменой, где- новая неизвестная функция, приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Доказательство::;

;, значит. Подозрительными на особые являются решенияи.

Иногда удобнее делать замену .