V. Введение в теорию формальных языков

4. Грамматики с ограничениями на правила

Несмотря на большое разнообразие грамматик, при построении трансляторов применяются только некоторые из них, имеющие ограничения, что связано с практической целесообразностью использования определенных типов правил, так как сложность их построения непосредственно влияет на сложность построения трансляторов. По виду правил выделяют несколько классов грамматик.

4.1. Классы грамматик в соответствии с классификацией Хомского.

1. Праволинейной (выровненной вправо) грамматикой называется грамматика G, если каждое правило из Р имеет вид

A xB или A x

где A, B – нетерминалы, x – цепочка, состоящая из терминалов

Например, грамматика G2 = ({0,1}, {S}, S, P)

где P: S  0S;

S  1S;

S ,

определяет язык {0, 1}.

2. Контекстно-свободной (бесконтекстной) грамматикой (КС-грамматикой) называется грамматика G, если каждое правило из Р имеет вид:

A 

где A  N,  (T  N)*, то есть является цепочкой, состоящей из множества терминалов и нетерминалов и может быть пустой.

Например, грамматика G3 = ({E, T, F}, {a, +, *, (,)}, P, E)

где P: E T

E  E + T

T  F

T  T * F

F  (E)

F  a.

порождает простейшие арифметические выражения.

Согласно определению, каждая праволинейная грамматика является контекстно- свободной.

Нетерминал А контекстно-свободной грамматики  G = (T, N, S, P) для некоторых  и , если =ε, называется леворекурсивным, а если =ε, называется праворекурсивным.

Грамматика G называется леворекурсивной (соответственно праворекурсивной), если в G имеется хотя бы один леворекурсивный (соответственно праворекурсивный) нетерминал.

Грамматика, в которой рекурсивны все нетерминалы (возможно, кроме, начального символа) называется рекурсивной.

3. Контекстно-зависимой (неукорачивающей) грамматикой (КЗ-грамматикой) называется грамматика G, если каждое правило из P имеет вид:

  

где |  ||  |, то есть вновь порождаемые цепочки не могут быть короче, чем исходные, а также пустыми (другие ограничения отсутствуют).

Например, грамматика G = ({a, b, c}, {B, C, S}, S, P)

где P: S  aSBC;

S  abc;

CB  BC;

bB  bb;

bC  bc;

cC  сc,

порождает язык { a ⁿ b ⁿ c ⁿ }, n ≥ 1 (n >0).

По определению КЗ-грамматика не допускает правил А  , где  – пустая цепочка, т. е. КС-грамматика с пустыми цепочками в правой части правил не является контекстно-зависимой.

Запрещение в контекстно-зависимой грамматике использования правил вида A→ε сделано для того, чтобы алгоритм, определяющий принадлежность цепочки языку, не зацикливается.

Наличие пустых цепочек ведет к грамматике без ограничений.

4. Грамматикой свободного (общего) вида (без ограничений) называется грамматика G, если в ней отсутствуют выше упомянутые ограничения.

Если язык L порождается грамматикой типа G, то L называется языком типа G.

Например, L(G) – КС-язык типа G.

Наиболее широкое применение при разработке трансляторов нашли КС-грамматики и порождаемые ими КС-языки.

Эта классификация называется включающей, т. е. все контекстно-свободные грамматики являются контекстно-зависимыми, а все контекстно-зависимые грамматики являются грамматиками общего вида и т. д.

Существуют языки, принадлежащие к типу i, но не к типу i+1: например, язык грамматики G_i является контекстно-зависимым, но не контекстно-свободным, т. е. не существует контекстно-свободной грамматики, порождающий этот язык.