Zadachi (1) / термех / задача1 / Задание 3

ЗАДАНИЕ К1

Дано: движение точки задано кинематическими уравнениями

x=0; y=(2 - t)²; z=t - 1; t₁=1, где y, z в м, а t в с.

Решение

1. Определить траекторию точки и простроить её на чертеже. Указать на ней положение точки в заданные моменты времени обозначив их М₀ и М₁ ( М₀ в момент времени t₀=0 c; М₁в момент времени t₁=1 c) - рис.1. Исключив параметр t из уравнений, получим:

; ;

- уравнение параболы

При t₀=0 c

x₀=0 (м);

y₀=(2 – t₀)²=(2 - 0)²= 4 (м);

z₀= t₀ - 1=0 - 1= -1 (м).

Точка M₀(0; 4; -1).

При t₁=1 c

x₁=0 (м)

y₁=(2 – t₁)²=(2 - 1)²= 1 (м);

z₁= t₁ - 1=1 - 1= 0 (м).

Точка M₁(1; 0; 0).

Строим параболу и указывает на ней точки М₀ и М₁ (рисунок 1)

Таблица 1 – Координаты параболы, м

y	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
z	1	0	-0,414	-0,732	-1	-1,236	-1,449	-1,645	-1,829	-2

Рисунок 1

Найдем угол α

; α=1,57 (рад).

2. Для момента времени t=t₁ определить и построить на чертеже:

- скорость точки М₁

,

;

;

;

2,236 м/с.

Направляющие косинусы вектора скорости:

;

;

.

- ускорение точки М₁

;

;

;

;

2 м/с².

Направляющие косинусы вектора ускорения:

;

;

.

3. Определить касательное и нормальное ускорение точки М₁

;

Т.к. ; ; ; , то получаем

м/с²;

м/с².

4. Определить характер движения точки. Векторы и направлены в противоположные стороны, следовательно, движение точки замедленное.

5. Определить радиус кривизны траектории точки в момент времени t=t₁=1 c.

- нормальное ускорение,

отсюда

5,592 м.

4