Учебное пособие Теории вероятностей и математическая статистика

2.55. Радиус круга R – случайная величина, распределённая по закону Релея:

Найти числовые характеристики с.в. Y sin X .

Раздел III СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

3.1 Двумерные распределения вероятностей

Совокупность двух (или более) случайных величин ( X ,Y ) ,

( X ,Y , Z,...), рассматриваемых совместно, называется системой двух (или более) случайных величин. Геометрически систему двух случайных величин можно интерпретировать как случайную точку ( X ,Y )

на плоскости хОу.

Закон распределения системы двух дискретных с.в. ( X ,Y )

где вероятности pij подчиняются условию

∑∑

61

ной точки ( X ,Y ) в квадрант с вершиной в точке (x,y), заштрихованный на рис. 3.1.

Вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в прямоугольник S со сторонами, параллельными осям координат, включающий свою нижнюю и левую границы, но не включающий верхнюю и правую (рис. 3.2), выражается через функцию распределения формулой

P{(X ,Y ) S} F( , ) F( , ) F( , ) F( , ) .

Функция распределения F (x, y) обладает свойствами:

4)F( , ) 1;

5)F(x, ) F1 (x) FX (x), F( , y) F2 ( y) FY ( y), где F1 (x) и

F2 ( y) – функции распределения случайных величин X и Y .

F (x, y) pij .

xi x y j y

Одномерные законы распределения отдельных компонент дискретной системы с.в. выражаются через вероятности совместных значений рij формулами

62

Плотность распределения вероятностей f(x,y) системы двух не-

прерывных случайных величин ( X ,Y ) выражается через функцию распределения формулой

Свойства плотности распределения:

1) f (x, y) 0;

2)условие нормировки: f (x, y)dx dy 1;

3) P{( X ,Y ) D} f (x, y) dx dy, где D – произвольная область;

D

xy

4)F (x, y) f (s,t)dsdt;

Найти значение параметра С и плотность распределения составляющей у.

Решение. Запишем условие нормировки плотности распределения

C (x2 y)dxdy 1,

D

где замкнутая область Вычисляя этот двойной интеграл, получаем: 10С/3 = 1, откуда С = 0,3. Плотность распределения составляющей y , согласно свойству 5), равна

1

f2 ( y) 0,3 (x2 y)dx 0,1 0,3y

0

63

при Аналогично получа-

3x2 , x [0,1];

ется плотность распределения : f1 (x)

0, x [0,1].

Зависимость и независимость случайных величин.

СВ называются независимыми, если независимы события

{X x} и {Y y} для любых действительных х и у . Иными словами, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения имела вид F(x, y) F1 (x)F2 ( y) . Отсюда следует, что аналогичное соотношение должно выполняться и для плотности вероятности:

f (x, y) f1 (x) f2 ( y) .

Для дискретных с.в. это соотношение запишется в виде

P{X xi ,Y y j } P{X xi } P{Y y j }

3.2. Условные законы распределения

Пусть ( X ,Y ) – система двух дискретных с.в. Условным законом распределения с.в. Х при условии, что с.в. Y имеет определённое (фиксированное) значение yj,, называется совокупность вероятностей

Совокупность вероятностей p( y1 / xi ), p( y2 / xi ),..., p( ym / xi ) представ-

ляют собой условный закон распределения с.в. Y при условии Х = хi . Соответствующее равенство для событий имеет вид

P(B / A) P( AB) P( A)

Аналогично определяется условный закон распределения дискретной с.в. X при условии Y y j . При этом для условных вероятно-

стей выполняется условие нормировки

64

Условная плотность f ( y / x) непрерывной с.в. Y при условии X = x определяется равенством

Аналогично

Теорема умножения плотностей распределения:

f (x, y) f1 (x) f ( y / x) f2 ( y) f (x / y).

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение примет другая случайная величина:

Теорема умножения для плотности распределения независимых с.в. записывается в виде f (x, y) f1 (x) f2 ( y) и аналогично для

функции распределения F(x, y) F1 (x) F2 ( y).

В случае дискретных с.в. (X,Y) необходимым и достаточным условием их независимости является равенство

pij pi p j .

3.3 Числовые характеристики двумерного случайного вектора. Корреляционный момент

Начальным моментом порядка k+s случайного вектора (X,Y)

называется действительное число k ,s , определяемое формулой

отдельных компонент.

Вектор с неслучайными координатами (mX , mY ) ( 1,0 , 0,1 )

называется математическим ожиданием случайного вектора (X,Y)

или центром рассеивания.

65

Для некоррелированных с.в. X и Y

заданная на множестве {x1, x2 ,...} значений с.в. Х, называется регрессией величины Y на X, а само соотношение (3.2) рассматривается как

уравнение регрессии Y на Х.

Пусть теперь ( X ,Y ) – система непрерывных с.в. В этом случае

условное математическое ожидание с.в. Y при условии Х = х опреде-

ляется равенством

M (Y / x) y f ( y / x)dy.

Аналогично

M ( X / y) x f (x / y)dx.

Пример

Задана таблица распределения дискретной двумерной с.в.

1.Найти законы распределения составляющих Х и Y, их математические ожидания и дисперсии.

2.Найти функцию распределения системы с.в. (Х, Y).

3.Установить, зависимы или нет компоненты Х и Y.

4.Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции случайного вектора ( X ,Y ).

5.Получить уравнения регрессии Н(x) величины Y на Х и G(y) величины Х на Y.

6.Вычислить вероятность P{X Y}.

Решение

1. С.в. Х принимает два значения: х1 = 1 и х2 = 2. Вероятности этих значений получатся, если сложить соответствующие вероятнос-

ответствии с определением:

. F (x, y) pij

xi x y j y

Так, если x 1, то при любом значении у F(x, y) 0, и аналогично при y 1. Если 1 x 2 и 1 y 2, то F(x, y) P{X 1,Y 1} 0,16 ;

если 1 x 2 и 2 y 3, то

F(x, y) P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 2} 0,16 0,12 0,28 и т.д.

68

В итоге функция распределения имеет вид

3. Условие независимости с.в. Х и Y в данном случае имеет вид pij pi p j для любых i и j. Проверим, например, при i = 1 и j = 2. p12 0,12 0,36 0, 23 p1 p 2 .Следовательно, с.в. Х и Y зависимы.

4. Корреляционный момент равен:

M ( XY ) 1 1 0,16 1 2 0,12 1 3 0,08 2 1 0,28

2 2 0,11 2 3 0,25 3,14;

KXY M ( XY ) mX mY 3,14 1,64 1,89 0,0404.

Коэффициент корреляции ρ вычисляется по определению:

Поскольку KXY 0, величины Х и Y являются коррелированными и, следовательно, зависимыми, хотя эта зависимость и слабая (ρ близко к нулю).

5. Для того чтобы найти функцию H (x) M (Y / X x), которая определена в двух точках: х = 1 и х = 2, найдём условные распределения величины Y при заданных значениях х

Используя полученное условное распределение вероятностей, нахо-

дим H (1) M (Y / X 1) 1 0,4444 2 0,3333 3 0,2222 1,7777.

Подобным образом считается всё остальное:

P(Y 1/ X 2) 0, 4375; P(Y 2 / X 2) 0,1719;

69

Результаты вычислений удобно представить в виде таблицы:

Кроме исходных данных (первые две строки и три столбца) она содержит частные распределения с.в. Х и Y. Эти величины получаются путём суммирования исходных величин по строкам и по столбцам. В последней клетке на пересечении столбца pi и строки

p j стоит единица – сумма всех вероятностей, как соответствующих

Условные вероятности получаются путём деления элементов строки (столбца) на соответствующую частную вероятность. Наконец, выделенные числа дают значения регрессий.

6. Искомая вероятность определяется по общей формуле (68), где область G – часть плоскости, в которой выполняется неравенство

x y . Тогда получим

Задачи

3.1. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна 0,75. Рассматриваются две с.в.: Х – число попаданий; Y – число промахов. Составить таблицу совместного распределения вероятностей с.в. Х и Y. Построить функцию распределения F (x, y) системы (Х, Y).

3.2. Двумерное распределение пары случайных целочисленных величин и задаётся с помощью таблицы:

70