Учебное пособие Теории вероятностей и математическая статистика

1.93.Вероятность рождения мальчика р =0,512. Считая применимыми локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа, вычислить вероятности событий: А = {среди 100 новорождённых будет 51 мальчик}, В = {среди 100 новорождённых будет больше мальчиков, чем девочек}.

1.94.В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,006.

Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 12 у.е. страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 1000 у.е. Найти вероятности событий:

А = {по истечении года работы страховая компания потерпит убыток}, Bm = {страховая компания получит прибыль m у.е.}, если m = 40000, 60000, 80000.

3) Отклонение относительной частоты от вероятности

Теория вероятностей имеет важное практическое значение, когда число испытаний п очень велико. В этом случае событие, вероятность которого близка к 1, почти обязательно происходит, а если вероятность события очень мала, то оно наступает редко.

Пусть m – число испытаний, при которых произошло событие А в серии из п испытаний. Тогда отношение mn называется отно-

сительной частотой наступления события А в данной серии испытаний.

Если п велико, то вероятность отклонения относительной частоты μ от вероятности успеха р в пределах заданной погрешности 0 определяется формулой

(Закон больших чисел в схеме Бернулли).

Кроме того, при решении задач используется также формула

P m np npq 2 0 ( ),

которая легко получается из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Рассмотрим примеры задач, решаемых с помощью этой формулы.

Пример. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,01. Найти:

31

а) вероятность того, что в партии из 1000 изделий относительная частота бракованных изделий отклонится от вероятности бракованного изделия не более чем на 0,001;

б) какой должна быть партия изделий, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что относительная частота бракованного изделия отклонится от вероятности 0,01 не более, чем на 0,002;

в) определить границу отклонения частоты от вероятности, которую можно гарантировать с вероятностью 0,99 при объёме партии в п = 2000 изделий.

Решение. а) Согласно выше приведённой формуле

Задачи

1.95. Какое минимальное количество раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,95, отклонение относительной частоты выпадения герба от вероятности его выпадения не превышало 0,01?

32

1.96.Полагая вероятность рождения мальчика равной 0,52, оценить пределы, в которых с вероятностью 0,95 будет заключено число мальчиков из тысячи новорождённых.

1.97.Оценить, в каких пределах с вероятностью Р заключено число шестёрок, выпадающих при подбрасывании 1000 игральных костей,

если: а) Р = 0,95; б) Р = 0,99.

1.98.Вероятность прорыва плотины при максимальной силе урагана равна 0,01. Строители гарантировали, что плотина выдержит до 500 ударов стихии. В год происходит до двенадцати ураганов. Оценить вероятность прорыва плотины в течение 20 лет.

1.99.В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Какова вероятность того, что на седьмом этаже выйдут трое из них? 1.100. При прохождении порога байдарка не получает повреждения с вероятностью 0,6, получает серьёзное повреждение с вероятностью 0,3 и полностью ломается с вероятностью 0,1. Два серьёзных повреждения приводят к полной поломке. Какова вероятность того, что при прохождении пяти порогов байдарка не будет полностью сломана

Раздел II СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1. Случайная величина и её функция распределения

В первой части каждое испытание представлялось нами как набор случайных событий, которые могут наступить в этом испытании, или как некоторое элементарное событие. Иногда каждому такому событию приписывалось определённое число. Например, число гербов при двукратном бросании монеты, число выпавших очков при бросании кубика, число выстрелов до первого промаха, время безотказной работы технического устройства и т.д. Таким образом, случайной называют величину Х, которая в результате испытания принимает определённое значение, заранее неизвестное.

Определение 1. Случайной величиной на вероятностном про-

Случайные величины (кратко – с.в.) обозначают большими латинскими Х, У,… или малыми греческими буквами, а принимаемые ими значения – соответственно строчными буквами

ется случайным событием. В дальнейшем это событие будем записы-

неты. Пространство элементарных событий в этом случае имеет вид

Если в качестве с.в. возьмём число выпавших орлов, то имеем

X ( 00 ) 2, X ( 01 ) X ( 10 ) 1, X ( 11) 0.

Данная с.в. связана со случайными событиями множества

Все эти события принадлежат алгебре , следовательно, определены их вероятности:

P( X 2) 1; P( X 2) 34 ; P( X 1) 14 ; P( X 0) 0

Для того чтобы получить полное представление о данной случайной величине, необходимо знать, какие вероятности соответствуют каждому значению с. в.

Любое правило (функция, таблица, график), позволяющее находить вероятность произвольных событий называется законом распределения случайной величины (или короче, просто распреде-

лением случайной величины).

Определение 2. Функцией распределения с.в. Х называется функ-

ция F(x), которая для любого числа x равна вероятности события

2)0 F(x) 1.

3)F( ) 0, F( ) 1.

4) F (x) непрерывна слева при любом х, т.е. F(x 0) F(x), x . 5) P{a X b} F(b) F(a).

Кроме того, следует отметить, что из свойств 4 и 5 вытекает

P(X c) F(c 0) F(c).

Иными словами, F(c 0) F(c) есть скачок функции F (x) в точке x = c.

2.1.2 Дискретные случайные величины

Определение 3. Случайная величина Х называется дискретной, если множество её возможных значений {x1, x2 , , xn} конечно или

счётно: {x1, x2 , , xn , }.

вероятности pi P( X xi ) , называется законом распределения дис-

кретной с.в. Х, или рядом распределения.

Функция распределения F (x)

рассматриваемой с.в. Х может быть записана в виде

Эта функция является кусочно-постоянной. Она имеет разрывы первого рода в точках при этом размер скачка в точке равен .

Пример. Рассмотрим характеристики распределения с.в. Х, заданной рядом распределения:

35

Вероятности значений с.в. η такие же, как и у соответствующих значений с.в. ξ. Однако у совпадающих значений yi вероятности следует сложить:

P( 0) P( 5) 0,1; P( 1) P( 4) P( 6) 0,1 0,1 0,2;

2.1.3 Числовые характеристики случайных величин

Числовыми характеристиками с.в. называют неслучайные величины, которые позволяют судить о параметрах распределения. К ним прежде всего относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и ряд других.

Математическим ожиданием (МО) случайной величины Х называ-

ется число

( ) ∑

Если д.с.в. принимает счётное число значений, то её МО есть сумма ряда ( ) ∑ при условии, что ряд абсолютно сходится. В противном случае МО не существует.

Если имеется непрерывная или кусочно-непрерывная функция g(x), то можно говорить о случайной величине g(Х). Её математическое ожидание может быть вычислено по формуле

которые называются соответственно начальными и центральными моментами l-го порядка случайной величины Х.

Начальный момент первого порядка, как уже отмечалось, представляет математическое ожидание с.в. Х: ( ) . Центральный момент второго порядка с.в. Х называется дисперсией этой величины и обозначается D(X):

Из этого определения вытекает другая часто используемая формула:

37

P(X 1) 1 (0,1 0,3 0,2 0,2) 0,2. Далее, согласно формуле

(2.2), функция распределения F(x) представляет собой кусочнопостоянную функцию со скачками 0,1; 0,3; 0,2; 0,2; 0,2 в точках -2; -

2.1.4 Метод производящих функций

Этот метод бывает удобно использовать для вычисления числовых характеристик дискретных с.в., принимающих неотрицательные

Аналогично вычисляются моменты более высокого порядка.

2.2. Примеры распределений дискретных случайных величин

2.2.1 Биномиальное распределение Bi(n, p)

39

Биномиальное распределение задаётся формулой Бернулли (1.17). Речь идёт о случайной величине Х, которая задаёт число успехов в серии из п независимых испытаний. Закон распределение с.в. Х имеет вид

Здесь – число успехов в одном испытании. Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

M ( X k ) 1 p 0 q p;

D( X k ) (1 p)2 p (0 p)2 q pq

n

Поскольку X X k , то, используя теоремы о числовых ха-