Учебное пособие Теории вероятностей и математическая статистика
.pdf
стреле, предполагая, что попадания при каждом выстреле независимы и равновероятны.
1.8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Теорема (формула полной вероятности). Пусть событие А про-
исходит совместно только с одним из событий H1, H2 , , Hn , образующих полную группу попарно несовместных событий, т.е.
n |
|
|
|
Hi , |
Hi H j |
, i j. Тогда |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
P( A) P(Hi ) P( A/ Hi ). |
(1.15) |
|
|
|
i 1 |
|
При этом события |
H1, H2 , , Hn обычно называют гипотезами, а |
||
n
P(Hi ) – вероятностями гипотез, P(Hi ) 1.
i 1
Теорема (формула Байеса). Пусть в результате опыта осуществилось событие. Тогда после опытные (апостериорные) вероятности гипотез вычисляются по формуле
P(H |
/ A) |
P(Hi ) P( A/ Hi ) |
(i 1, 2, , n), |
(1.16) |
|
||||
i |
|
P( A) |
|
|
|
|
|
||
Задачи
1.68. В продажу поступают телевизоры трёх заводов. Продукция первого завода содержит 20 % телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10 % и третьего – 5 %. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 % телевизоров с первого завода, 20 % – со второго и 50 % – с третьего?
|
|
|
A |
|
|
|
|
1.69. На рис. 5 изображена схема дорог. Ту- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ристы выходят из пункта А, выбирая каждый |
Н1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раз на развилке дорог дальнейший путь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наудачу. Какова вероятность того, что они |
|
|
|
Н3 |
|
|
|
Н4 |
||||
Н2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
попадут в пункт В? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.70. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|||
|
Рис. 5 |
|
|
|
|
|
|
|
наудачу выбираются два мяча и после игры |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возвращаются обратно. Затем для второй иг- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
ры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
1.71.Из 10 студентов, сдающих экзамен по теории вероятностей, два студента знают по 20 билетов из 30, один – 15 билетов, остальные знают все билеты. Чему равна вероятность того, что случайно взятый студент сдаст экзамен, если знание билета обеспечивает сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а незнание – с вероятностью 0,1.
1.72.В двух коробках находятся батарейки – в первой 12, из них одна разряжена, во второй – 10 и одна тоже разряжена. Из первой коробки во вторую переложена случайно взятая батарейка. Найти вероятность того, что взятая наугад из второй коробки батарейка будет разряжена.
1.73.В первой урне 10 шаров, из них 8 белых, во второй – 20 шаров, из которых 4 белых. Из каждой урны берут наугад по одному шару, а затем из этих двух шаров выбирают наудачу один. Найти вероятность того, что он белый.
1.74.Клеточная активность мозга регистрируется микроэлектродом. С вероятностью 0,6 предполагается, что в опыте наблюдается первая из двух соседних структур мозга. Известно, что в первой структуре 60% всех клеток, а в соседней 50% продуцируют некоторый тип активности. Микроэлектрод зафиксировал в фиксированный момент времени данный тип активности. Как в связи с этим наблюдением изменится мнение о нахождении микроэлектрода в первой структуре мозга?
1.75.Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов 1 и 2 (рис. 6) и может случайным образом работать в одном из двух режимов: благоприятном и неблагоприятном. Надёжность каждого из узлов в благоприятном режиме равна
p1 0,9 , в неблагоприятном p2 0,2. Ве-
роятность того, что прибор будет работать
в благоприятном режиме, равна P 0,85,
1
в неблагоприятном 1 P 0,15. Найти полную (среднюю) надёж-
1
ность прибора.
1.76. Военный корабль может пройти вдоль пролива шириной 1 км с минным заграждением в любом месте. Вероятность его подрыва на мине в правой части заграждения шириной 200 м равна 0,3, а на
22
остальной части – 0,8. 1) Найти вероятность того, что корабль благополучно пройдёт пролив. 2) Корабль благополучно прошёл пролив. Какова вероятность того, что он прошёл его в левой части пролива? 1.77. Вероятность попадания в цель для трёх стрелков равны соответственно 4/5, 3/4 и 2/3 . Для поражения цели в неё нужно попасть не менее двух раз. В результате одновременного выстрела всех трёх стрелков цель была поражена. Какова вероятность того, что в цель попал третий стрелок?
Решение. В данном опыте полную группу образуют гипотезы Hi = {в цель попали i раз}, где i = 1,2,3,4. Вероятность этих гипотез соответственно равны:
P(H1 ) 0,017, P(H2 ) 0,15; P(H3 ) 0, 43; |
P(H4 ) 0, 4. Вероятность |
||||||||||
события А = {цель поражена} равна |
( ) |
( |
) |
|
|
( |
) |
||||
|
|
|
Вероятность поражения цели с обязательным |
||||||||
участием третьего стрелка (событие В) |
|
равна |
|
( |
) |
|
|||||
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, вероятность попадания в цель третьим стрелком согласно формуле Байеса, равна
P(B3 A) P( AB3 ) 0,63 0,76. P( A) 0,83
1.78. По объекту производится три одиночных (независимых) выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором 0,5, при третьем 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трёх попаданий; при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6; при одном – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трёх выстрелов объект будет выведен из строя.
1.79. По каналу связи передается один из сигналов X1 и X 2 . Сигнал X 2 передается в среднем втрое чаще, чем сигнал X1. Вследствие искажения вместо переданного сигнала X1 может быть зафиксирован сигнал X 2 , и наоборот. При этом X1 искажается в среднем в 10% случаев, а X 2 
в 20% случаев. А) По каналу связи передан какой-то сигнал. Какова вероятность того, что на приёмнике будет зафиксирован X1? Б) На приёмнике зафиксирован сигнал X1. С какой вероятностью этот сигнал и был передан?
1.80. Среди наблюдаемых спиральных галактик 23% принадлежат подтипу Sa , 31% 
подтипу Sb и 46% подтипу Sc . Вероятность
23
вспышки в течение года сверхновой звезды в этих галактиках составляет соответственно 0,0020; 0,0035 и 0,0055 соответственно. А) Найти вероятность вспышки в течение года сверхновой звезды в далёкой спиральной галактике, подтип которой определить не удаётся. Б) В некоторой спиральной галактике обнаружена вспышка сверхновой звезды. С какой вероятностью наблюдаемая при этом галактика принадлежит типу Sa , Sb , Sc ?
1.9. Повторные независимые испытания
1)Формула Бернулли
Осхеме Бернулли говорят, когда рассматривается последовательность (серия) независимых испытаний, каждое из которых происходит в одинаковых условиях и завершается наступлением
(успехом) или ненаступлением (неуспехом) случайного события . Каждая серия является сложным событием А, которое состоит из к
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
появлений события и (п - к) появления события . Тогда простран- |
|||||||
ство элементарных исходов |
сложного события А состоит из |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
событий вида n,k AAAA...AA, |
где в п испытаниях ус |
||||||
пех А встречается ровно к раз, причём порядок следования событий А и A может быть любым при заданных числах п и к .
Например, при n 4, k 2 возможны следующие комбинации:
AAAA, AAAA, AAAA, AAAA, AAAA, AAAA. Число таких ком-
бинаций при заданных п и к равно . Если в одном испытании P( A) p , то P( A) 1 p q . В силу независимости элементарных
испытаний вероятность события |
равна P( |
) pk qn k . Ве- |
|
n,k |
|
роятность Pn (k) того, что в n независимых испытаниях произойдёт
ровно к успехов (событие A произойдёт ровно к раз), вычисляется по
формуле Бернулли
P (k) Ck pk qn k , |
k 0,1, 2, |
|
n |
n |
|
Сумма всех этих вероятностей равна единице:
Кроме того, по формуле бинома Ньютона
n
Cnk pk qn k ( p q)n 1. k 0
, n. (1.17)
n
Pn (k) 1.
k 0
24
Наивероятнейшее число успехов к в серии из п испытаний можно найти следующим образом.
Если np q – нецелое число, то наибольшей вероятностью явля-
ется Pn (k0 ), где |
k0 np q 1. |
|
|
(Здесь скобки [ ] обозначают целую часть числа х). |
|||
Если np q |
- целое число, то наибольшую вероятность имею |
||
два значения - |
, где |
|
|
k0 =np q, |
k0 np q 1. |
||
Примеры.
1. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 4 раза?
Решение. Имеем |
|
n 8, |
|
k 4, |
p q 1/ 2. |
|||||||
4 |
|
1 4 |
|
1 4 |
|
8! 1 |
|
|
||||
P8 (4) C8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 273. |
|
|
|
|
8 |
|||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
4!4! 2 |
|
|
||||
2. Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Какова вероятность того, что среди шести изготовленных деталей окажутся более четырёх стандартных?
Решение. Если в качестве события А взять изготовление нестандартной детали, то p(A) 0,02, q 0,98 . Соответственно изготовление более четырёх стандартных деталей означает, что 0 k 1.
Вычисляя, получим
P6 (0 k 1) P6 (0) P6 (1) C60 (0,02)0 (0,98)6 C61 (0,02)1 (0,98)5 0,9943
3. В круг вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что из четырёх точек, брошенных наугад в данный круг, только одна попадёт внутрь квадрата? Каково наиболее вероятное число точек, попавших в квадрат?
Решение. Вероятность события А = {попадание точки внутрь квадрата} равна отношению площадей вписанного квадрата и круга
( ) ( ) ( )
Обобщением схемы Бернулли служит полиномиальная схема на случай, когда каждое испытание имеет произвольное число k 2 ис-
ходов |
… |
с вероятностями p1, p2 , , pk соответственно, |
|
p1 p2 |
pk |
1. При этом вероятность Pn (n1, n2 , , nk ) того, что в |
|
п испытаниях исход А1 |
будет наблюдаться п1 раз, исход А2 – п2 раз, |
||
…, Ак – пк раз, n1 n2 |
nk n, определяется полиномиальной |
||
формулой
25
P (n , n , |
, n ) |
n! |
|
pn1 |
pn2 |
pnk . |
|
|
|||||
|
|
|||||
n 1 2 |
k |
n ! n ! n ! 1 |
2 |
k |
||
|
|
1 2 |
k |
|
|
|
Задачи
1.81. По каналу связи передаётся 6 сообщений. Каждое из сообщений, независимо от других, искажается с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что: а) ровно 2 сообщения из 6 искажены; б) не менее двух сообщений из 6 искажены.
Решение. Событие А – сообщение искажено с вероятностью p = 0,2; q = 0,8.
а) P6 (2) C62 p2q4 2!4!6! 0,220,84 0,246;
б) P6 (k 2) 1 P6 (k 2) 1 [P6 (0) P6 (1)]
1 (0,86 6 0, 2 0,85 ) 0,345.
1.82.По мишени произведено 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность п попаданий в мишень, где п = 0, 1, 2, 3.
1.83.Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наивероятнейшее число опоздавших студентов из 96, пришедших на лекцию.
1.84.Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, используя одно из двух слов: да, нет. Какова вероятность студентов получить не менее 80 % правильных ответов, если использовать «метод угадывания»?
1.85.Каждый выпущенный по цели снаряд попадает в неё, независимо от других снарядов, с вероятностью 0,4. Если в цель попал один снаряд, она поражается с вероятностью 0,3; если два снаряда – с вероятностью 0,7; если три или более снарядов, то цель поражается наверняка. Найти вероятность поражения цели при условии, что по ней выпущено: а) 3 снаряда; б) 4 снаряда.
1.86.Определить вероятность Рп того, что при n подбрасываниях монеты гербов выпадает больше, чем решек. Приведите значения этой вероятности при n = 5 и n = 6.
1.87.В круг вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что из четырёх точек, брошенных наугад в данный круг, только одна попадёт внутрь квадрата? Каково наиболее вероятное число точек, попавших в квадрат?
26
2) Приближённые формулы в схеме Бернулли
Формула Бернулли справедлива при любом числе испытаний n. Однако если n велико, то вычисления становятся громоздкими (практически уже при n 10 ). Поэтому при больших значениях n вместо неё, как правило, используют приближённые формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.
Формула Пуассона. Если n 1, p |
1 , так что |
тогда, мож- |
||||||||||||||||
но считать, что |
|
|
, и формулу Бернулли можно преобра- |
|||||||||||||||
зовать следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P (k) Ck pk qn k |
|
|
n! |
|
|
pk (1 p)n k |
(так как |
p |
|
1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
k!(n k)! |
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n(n 1)(n 2)...[n (k 1)] |
k |
|
n k |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
n(n 1)(n 2)...[n (k 1)] |
|
|
|
|
n k |
k |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
e |
|
|
|
||
|
|
k!n |
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
k! |
|
|
|
|
при любом фиксированном к = 0, 1, 2, … . |
|
|
|
|
||||||||||||||
Таким образом, справедлива формула Пуассона |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
P (k) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.18) |
||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. |
|||||||||||||||||
Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут: а) три негодных изделия; б) не больше трёх негодных изделия.
Решение. |
Имеем n 5000, p 0,0002, |
|
np 1. В случае а) к = 3, б) |
|||||||||||||||
к = 0,1,2, 3. |
|
Вычисляя, получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a) P |
(3) |
13 e 1 |
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5000 |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||
b) P5000 |
(0 k 3) e 1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0,981. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0! |
1! |
2! |
|
3! |
|
|
|||||||
Пуассоновский поток событий (ППС).
27
Потоком событий называется последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (например, поток посетителей в парикмахерскую, поток вызовов на АТС, поток отказов элементов устройства и т.д.).
ППС характеризуется следующими свойствами: стационарность, ординарность и отсутствие последействия.
Свойство стационарности означает, что вероятность появления к событий за время зависит только от длины промежутка и не зависит от начала его отсчёта. Следовательно, среднее число событий,
появляющихся за единицу времени (интенсивность потока) есть величина постоянная .
Ординарность потока означает, что всегда можно выбрать такой промежуток времени , что события появляются поодиночке. Отсутствие последействия означает, что вероятность появления
событий в любой промежуток не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающимся с ним промежутке времени (т. е. «будущее» потока не зависит от «прошлого»).
Тогда вероятность появления |
событий ППС за время |
определя- |
|||
ется формулой Пуассона |
|
|
|||
P (k) p |
|
|
( t)k e t |
. |
(1.19) |
k |
|
||||
t |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. АТС обслуживает 2000 абонентов. Вероятность позвонить любому абоненту в течение часа равна 0,003. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов?
Решение. Среднее число абонентов, позвонивших в течение часа,
равно t 2000 0,003 6 . Следовательно, |
p |
65 e 6 |
0,13. |
|
|||
|
5 |
5! |
|
|
|
|
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Теорема. Если число испытаний n велико, а вероятности р и q не очень близки к нулю (обычно достаточно условий n > 25, npq > 10), тогда
Pn (k) |
|
1 |
|
(x), |
(1.20) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
npq |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
28 |
|
k |
np |
|
|
|
|
1 |
|
e |
x2 |
|
где x |
|
, |
(x) |
|
|
2 – функция Гаусса. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
||||||||||
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Вероятность брака при массовом производстве деталей равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад выбранных деталей 50 окажутся бракованными?
Решение. При заданных числах п = 400, к = 50, р = 0,1, q = 1 – p вычисления дают:
x |
k |
np |
|
1,6667; |
(x) 0,0995; |
P (k) |
|
1 |
|
(x) 0,0166. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
npq |
|
n |
npq |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интересно сравнить этот результат с тем, который получен по точной формуле Бернулли и по формуле Пуассона. РБерн = 0,0165,
РПуассон= 0,0177. Результат, полученный с помощью формулы Муав- ра-Лапласа, оказался практически точным.
Интегральная теорема Лапласа
Пусть снова производится п испытаний ( n 1), в каждом из которых вероятность события А равна р. Чему равна вероятность того, что событие А появится в п испытаниях не менее к1 и не более к2 раз? На этот вопрос отвечает
Теорема . Если вероятность р наступления события А в каждом
испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность |
Pn (k1, k2 ) то- |
|||||||||||||||||||||||||||
го, что событие А появится в п испытаниях от к1 до к2 |
раз при- |
|||||||||||||||||||||||||||
ближённо равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(k1, k2 ) |
|
|
|
|
e |
|
|
|
dz 0 (x2 ) 0 (x1 ) , |
|
||||||||||||||||
|
Pn |
|
|
2 |
(1.21) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 (x) |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
2 |
|
dz интегральная функция Лапласа. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
k1 |
np |
|
, |
x |
k2 |
np |
|
|
; |
|
|
( x) |
|
(x). |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||||||||||||||||
1 |
|
npq |
2 |
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Наряду с функцией |
( |
|
|
) используется также функция |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
dz 0,5 (x). |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
e 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0
29
Пример. Вероятность того, что деталь не прошла при проверке ОТК, равна р = 0,2. Найти вероятность того, что из 400 наугад отобранных деталей окажутся нестандартными от 70 до 100 деталей.
Решение. Имеем р = 0,2, q = 0,8, n = 400, k1 = 70, k2 = 100. От-
сюда находим
x |
k2 |
np |
|
100 400 0, 2 |
2,5, x |
|
k1 |
np |
|
|
70 400 0, 2 |
|
1, 25. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
npq |
|
|
400 0, 2 0,8 |
1 |
|
|
npq |
|
400 0, 2 0,8 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, P400 (70,100) 0 (2,5) 0 ( 1, 25)
0 (2,5) 0 (1, 25). Значения функций находим из таблиц. Оконча-
тельно получим P400 (70,100) 0, 4938 0,3944 0,8882.
Задачи
1.88Вероятность сбоя в системе при переключении её режимов равна 0,001. Найти вероятность того, что в 5000 переключениях будет не меньше двух сбоев.
1.89Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков, равна 0,005. Найти вероятность того, что при наборе текста будет допущено: а) 6 ошибок; б) хотя бы одна ошибка.
1.90Какова вероятность того, что среди 730 пассажиров поезда: а) четверо родилось 23 февраля; б) двое родилось 1 марта; в) никто не родился 22 июня? (Считать, что в году 365 дней.)
1.91В некоторой области имеется 16200 тракторов. Известно, что в течение сезона в среднем у одной трети тракторов выходит из строя некоторая деталь, которая требует замены. Было заготовлено 5400 деталей для замены.
1.Какова вероятность того, что этого количества деталей достаточно для обеспечения непрерывной работы в течение сезона?
2.Сколько нужно заготовить деталей, чтобы с вероятностью 0,95 их было достаточно для обеспечения нормальной работы тракторов в течение сезона?
1.92.Радиотелеграфная станция передаёт цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятности следующих событий: А = {в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок}, В = {будет сделано ровно 7 ошибок}.
30