Учебное пособие Теории вероятностей и математическая статистика

Итак, вероятность имеет объективный смысл для событий, обладающих свойством статистической устойчивости при большом числе повторений независимых испытаний. Опыт показывает, что существуют случайные события, которые при данных условиях почти всегда наступают (или почти никогда не происходят). Такие случайнее события называют практически достоверными (практически невоз-

можными). Вопрос о том, за какими событиями можно признать свойство устойчивости частот и как установить их вероятность, решаются на основе опыта. Так, при бросании правильных монеты или кубика очевидно, что вероятности элементарных событий следует принять соответственно равными 1/2 и 1/6. Во многих случаях этот вопрос решается из условий симметрии опыта.

Используя аналогию частоты и вероятности и на основании выражений (1.8) и (1.9), установим свойства вероятности. Пусть событие

Пусть А, В – произвольные события, частоты которых соответствен-

Последнее определяется условную вероятность события А при условии, что произошло событие В.

1.4 Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт с n равновозможными исходами, образующими группу несовместных событий. Такие исходы называются

элементарными исходами (событиями), случаями, шансами. Случаи,

которые приводят к наступлению события А, называются благопри-

ятными ему.

11

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятных исходов, к числу n всевозможных исходов:

Это определение называют классическим определением вероятности. Ещё раз подчеркнём, что приведённое выше определение справедливо лишь в эксперименте с конечным числом равновозможных исходов.

Задачи.

1.25.Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.

1.26.В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Одновременно вынимают 3 шара. Что вероятнее: вынуть 2 белых и 1 чёрный или 2 чёрных и 1 белый шар?

1.27.На карточках написаны буквы: Л, И, Т, Е, Р, А. На стол наудачу по одной выкладывают 4 карточки. Какова вероятность того, что получится слово «ТИРЕ»?

1.28.Из колоды карт (52 карты) Герман наудачу выбирает три карты. Какова вероятность того, что эти карты – «тройка», «семёрка», туз?

1.29.В урне 20 шаров с номерами 1, 2,…, 20. Наудачу выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них есть шары с номерами

1 и 2.

1.30.Из 12 лотерейных билетов, среди которых 4 выигрышных, берут 6. Какова вероятность того, что среди них хотя бы один выигрышный?

1.31.Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков не больше 3?

1.32.Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные ча-

сти по 26 карт. Найти вероятности следующих событий: А = {в каждой из пачек окажется по два короля};

В = {в одной из пачек не будет ни одного короля, а в другой – все четыре}; С = {в одной из пачек будет один король, а в другой – три}.

1.33. В первом ящике находятся шары с номерами 1 … 5, во втором

– с номерами 6…10. Из каждого ящика вынимают по шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: а) не меньше 7; б) равна 11?

12

1.34.В лотерейном билете нужно зачеркнуть 6 номеров из 49. Какова вероятность угадать: а) 6 номеров; б) 5 номеров; в) 4 номера; г) 3 номера; д) 2 номера; е) один номер?

1.35.В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируется 2 группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий: А = {все команды экстра-класса попадут в одну и ту же группу}; В = {две команды экстра-класса попадут в одну из групп, а три – в другую}.

1.36.Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трёх выбранных вопросов студент знает ответ на: а) 3 вопроса; б) 2 вопроса; в) 1 вопрос.

1.37.Из букв А, С, Н, Н, А, А разрезной азбуки составляется наудачу слово, состоящее из 6 букв. Какова вероятность того, что получится слово «АНАНАС»?

1.38.На 5 карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбираются две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой?

1.39.Техническое устройство, состоящее из 10 блоков, вышло из строя из-за отказа какого-то блока. Для его отыскания проверяют все блоки по очереди, пока не обнаружится неисправный блок. Определить вероятность того, что проверять придётся не менее половины всех блоков.

1.40. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 наугад составляется трёхзначное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность того, что это число будет чётным?

1.41.В шахматном турнире участвуют 12 человек, которые по жребию разбиваются на две группы по 6 человек. Найти вероятность того, что двое наиболее сильных шахматистов попадут в разные группы.

1.42.В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А = {все пассажиры выйдут на четвёртом этаже}; В = {все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже)}; С = {все пассажиры выйдут на разных этажах}.

1.43.Через автобусную остановку проходят автобусы пяти маршрутов с равной частотой. Пассажир ожидает автобус одного из марш-

13

рутов №1 или №3. Какова вероятность того, что нужный ему автобус будет одним из первых двух подошедших к остановке?

1.44. 4 шарика случайным образом разбрасываются по четырём лункам; каждый шарик попадает в ту или иную лунку с одинаковой вероятностью и независимо от других; в каждую лунку может попасть несколько шариков. Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой – один, а в двух остальных шариков не будет.

Решение. Общее число случаев n = 44. Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будут три шарика, C41 4. Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будет один шарик, C31 3. Число способов, которыми можно выбрать из четырёх шариков три, чтобы положить их в первую лунку, C43 4. Общее число благоприятных случаев m 4 3 4. Таким образом, вероятность события равна:

=

1.45. Имеется М шариков, которые случайным образом разбрасываются по N лункам (N M ). Определить вероятность того, что в первых M лунках будет ровно по одному шарику.

1.46. В лифт 9-тиэтажного дома на первом этаже вошли трое. Найти вероятность того, что для их выхода лифт остановится дважды. Решение. Для выхода трёх пассажиров лифт может остановиться 1, 2

1.5. Аксиомы теории вероятностей. Основные теоремы и следствия

Дано множество { } элементов произвольной природы, которое назовём пространством элементарных событий некоторого испытания. Произвольные подмножества этого множества назовём событиями. Совокупность подмножеств множества образует систему – поле событий. В общем случае поле событий содержит как конечное, так и бесконечное множество событий.

14

ру либо -алгебру подмножеств пространства элементарных событий.

Система аксиом вводит на действительную, неотрицательную, нормированную функцию множеств Р , которая называется вероятностной мерой, или просто вероятностью.

Тройка величин ( ) называется вероятностным про-

странством.

Основные следствия из аксиом.

1.P( A) P( A) 1.

2.P( ) 0.

3.0 P(A) 1.

4.(A B) P(B) P( A) P(B \ A).

5.Теорема сложения для произвольных событий А и В:

1.6. Геометрическое определение вероятностей

Классическая схема теории вероятностей применима, если имеется конечное число равновозможных исходов некоторого события. Если же имеется бесконечное множество элементарных исходов, и они образуют всюду плотное множество, то используется геометрический подход. В основе его, как и в классической схеме, лежит представле-

15

ние о равновозможных исходах, а вероятности трактуются как «доли» множества всех элементарных исходов. Формула геометрической вероятности используется в тех случаях, когда пространство элементарных событий изображается какой-либо геометрической фигурой – отрезком прямой, плоской фигурой и т.п.

Пусть точка бросается наугад в некоторую область А (рис.2). Тогда вероятность попадания точки в некоторую часть В области А равна отношению меры (длины, площади, объёма) этой части к мере всей области А:

P(B) (B) .( A)

При этом предполагается, что указанные меры определены, причём ( A) 0.

Пример (задача о встрече). Двое условились встретиться в определённом месте между полуднем и часом дня. Каждый из пришедших первым ждёт другого 15 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи друзей, если приход каждого из них в течение указанного часа происходит наугад и мо-

менты прихода независимы.

Решение. Пусть x и y – моменты прихода договорившихся сторон; 0 x 1, 0 y 1 (в часах). Тогда условие встречи запишется в виде

x y 14 .

Теперь задачу можно интерпретировать следующим образом. В квадрат 0 x 1, 0 y 1 в декартовой системе координат (рис. 3) наугад бросают точку. Какова вероятность того, что её координаты будут удовлетворять условию x y 1/ 4?

Искомая вероятность, очевидно, равна отношению площади выделенного шестиугольника к площади квадрата:

Задачи

16

1.47. Точку бросают наугад в круг x2 y2 1. Найти вероятность того, что: а) расстояние от точки до центра круга превысит 1/2; б) абсцисса точки будет не больше 1/2; в) точка окажется вне квадрата, вписанного в данный круг.

1.48.Луч локатора перемещается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью. Какова вероятность того, что цель будет обнаружена в угловом секторе α радиан, если появление цели по любому направлению одинаково возможно?

1.49.В случайный момент времени x [0,T ] появляется радиосигнал

длительностью t1 . В случайный момент времени y [0,T ] включается приёмник на время t2 t1. Найти вероятность обнаружения сигнала, если приёмник настраивается мгновенно.

1.50.На отрезке длины l наудачу выбирают две точки М1 и М2. Определить вероятность того, что из полученных трёх отрезков можно построить треугольник.

1.51.На окружности единичного радиуса наудачу ставятся три точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный?

1.52.На пол, покрытый кафельной плиткой со стороной a 6 см, случайно падает монета радиуса r 2 см. Найти вероятность того, что монета окажется целиком внутри квадрата.

ординаты. Найти вероятности событий А, В, АВ, А+В, если А = {вторая точка ближе к левому концу отрезка, чем первая к правому концу}; В = {расстояние между точками меньше половины длины отрезка}.

1.7. Условная вероятность. Независимость событий. Правила умножения и сложения вероятностей

17

Определение. Вероятность события А при условии, что событие В произошло (Р(В) ), называется условной вероятностью и обозначается как

Из этого определения вытекает теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

Эта формула легко обобщается на случай любого числа событий. В частности, вероятность произведения трёх событий

Вероятность суммы несовместных событий А и В

P( A B) P( A) P(B).

При вычислении вероятности сложного события бывает удобно пользоваться формулой вычисления вероятности противоположного события

P( A) 1 P( A).

Пример. Пусть события Ai , состоящие в том, что задачу решил i- й студент (i = 1, 2, 3), независимы и их вероятности равны

18

Тогда вероятность того, что задачу решил хотя бы один студент – событие А, равно A A1 A2 A3. Вероятность этого события может быть вычислена через вероятность противоположного события A , которое равно произведению противоположных событий - задачу не решил ни один из студентов: A A1 A2 A3.

Задачи

1.56.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Стрелки произвели по одному выстрелу по мишени. Считая попадания в мишень для отдельных стрелков событиями независимыми, найти вероятности следующих событий: A= {ни одного попадания в мишень}; B= {ровно одно попадание в мишень}.

1.57.Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4, третий – 0,5. По условиям приёма события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.

1.58.Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события: A = {выпадение герба на первой монете}; D = {выпадение хотя бы одного герба}; E = {выпадение хотя бы одной цифры}; F = {выпадение герба на второй монете}.Определить, зави-

симы или независимы следующие пары событий: 1) A и E; 2) A и F; 3) D и E; 4) D и F. Указание. Сначала определяются безусловные вероятности событий А, D, E и F и соответствующих произведений, а затем условные вероятности.

1.59. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Студент подготовил 25 вопросов из 30. Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос билета и на один дополнительный вопрос из этих же 30 вопросов. 1.60. Студент выполняет тест. Работа состоит из трёх задач. Для каждой задачи предложено 5 вариантов ответов, из которых только один правильный. Студент выбирает ответы наудачу. Какова вероятность того, что он пройдёт тест?

19

1.61. На рис. 1 и 4 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надёжность pk (вероятность безотказной работы) k-го элемента (соответственно qk = 1 – pk – вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надёжность каждой из схем.

1.62. За некоторый промежуток времени амёба может погибнуть с вероятностью 1/4, выжить с вероятностью 1/4 и разделиться на две с вероятностью 1/2. В следующий такой же промежуток времени с каждой амёбой независимо от её «происхождения» происходит то же самое. Сколько амёб и с какими вероятностями может существовать к концу второго промежутка времени?

1.63Двое поочерёдно подбрасывают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет герб. Определить вероятность выигрыша каждого игрока.

1.64Какова вероятность того, что при пяти бросаниях игральной кости шестёрка выпадет не менее трёх раз подряд?

1.65Стрелку, имеющему пять патронов, разрешено стрелять до первого промаха или пока не кончатся патроны. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность того, что стрелок израсходует не все патроны?

1.66Один студент выучил 20 вопросов программы из 20, второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответит хотя бы один студент.

1.67Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трёх выстрелах равна 0,973. Найти вероятность попадания при одном вы-

20