Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Учебное пособие Теории вероятностей и математическая статистика

.pdf

Скачиваний:

271

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

данных номеров; 1.35																				(		)					(	)					; 1.36 а) 0,41; б) 0,44;
данных номеров; 1.35																				(		)					(	)					; 1.36 а) 0,41; б) 0,44;
в) 0,13; 1.37 1/60; 1.38 0,5; 1.39 0,6; 1.40																														P 2A2					/ A3 2/ 5; 1.41 6/11.
																																		4		5
1.42				( )										(		)								(	)				1.43 0,7; 1.44											1.45
1.42				( )										(		)								(	)				1.43 0,7; 1.44											1.45

1.46						1.47 а) 0,75; б)																	√			в)					1.48						1.49
1.46						1.47 а) 0,75; б)																				в)					1.48						1.49
		1					t		2	2			1				t			2					1				1					4
1			1						2					1			1			; 1.50							; 1.51				; 1.52					; 1.53
1			1											1						; 1.50							; 1.51				; 1.52					; 1.53
		2					T						2				T								4				4					9
а) и б) 2z z2													при 0 z 1;											в) z(1-ln z);							г)	z2		при 0 z 1,
а) и б) 2z z2													при 0 z 1;											в) z(1-ln z);							г)			при 0 z 1,
																															4
	4z 1				при 1							z 2,						6z z2 5							при 2			z 3. 1.54													1.55
		4			при 1							z 2,								4					при 2			z 3. 1.54													1.55
		4																		4
( )											(		)							(		)					(				)
( )											(		)							(		)					(				)
1.56					(			)						(						)							1.57	0,79. 1.58								Пары событий А, Е;
D, E; D, F зависимы; А, F																								независимы; 1.59										0,936;					1.60 0,104;
1.61				Рис. 1: p1 p2 p3 ,															1 q1q2q3 ; рис. 4:												(							)	(			)
(									)	1.62 Могут существовать 0, 1, 2, 3, 4 амёбы с вероятно-
стями					11			,		4		,	9	,	4	,			4		соответственно. 1.63																	где 1 – первый
стями								,				,		,		,					соответственно. 1.63																	где 1 – первый
					32				32		32			32		32
вступающий в игру; 1.64 0,193; 1.65 0,9919; 1.66 1; 1.67 0,7. 1.68
0,895;					1.69 7/12;									1.70 0,445;										1.71 0,763;							1.72 13/132;							1.73			0,5;	1.74

Вероятность нахождения микроэлектрода в первой структуре мозга

возросла; 1.75

0,8955; 1.76 0,30; 0,53; 1.77 0,76; 1.78 0,458; 1.79 1)

0,375;

2) 0,6;

1.80

1) 0,004075; 2) 0,1129; 0,2663; 0,6208.

1.82

0,027;

0,189;

0,441;

0,343;

1.83 7;

1.84

~0,055;

1.85 0,3952;

1.86

, если п нечётное,

(

), если п не-

чётное; P

, P

. 1.87 p

, P (1) 0,122,

m 3.1.88 0,9596;

1.89

a) 0,162,

б) 0,998. 1.90

a) 0,09, б) 0,270,

в) e 2 0,135.

1.91 1) P = 0,5; 2) 5499; 1.92 P(A) 0,9964, P(B) 0,0176.

1.93

P(A) 0,0797, P(B) 0,5160.

1.94 P( A) 0; P(B40000 ) 0,995;

P(B60000 ) 0,5; P(B80000 ) 0,005. 1.95

n 9604. 1.96 От 490 до 550

мальчиков. 1.97 а) (143; 189); б) (136;196); 1.98 0,2549; 1.99 0,15. 1.100 0,27216.

111

Раздел II

2.1 M ( X ) 1,3; D( X ) 2,01.

2.4
2.4	xi	1	2	3	4
	xi	1	2	3	4
	pi	0,4	0,42	0,108	0,072

2.5M (X ) 0,5; D(X ) 4,25.

	0,	x 2,
		2 x 1,
	0,08,	2 x 1,
2.6		1 x 2,
2.6	F (x) 0,48,	1 x 2,
	0,80,	2 x 3,
		x 3
	1,	x 3

2.2	0,405; 0,09; 0,505;		2.3 0,9;
M (X ) 1,852; D( X ) 0,77.
			Отформатировано: Шрифт: 16 пт,
		F(x)	Отформатировано: Шрифт: 16 пт,
	F(x) 10		полужирный


	0,8

0,48

0,08

-2

График функции F(x) изображён на рисунке.

P(A) 0,48; P(B) 0,72; P(C) 0,52.

		xi	0		1	2
2.7		pi	0,375		0,5	0,125
2.8	mx 2, 4; Dx			0, 46;

2.9	xi		0			1			2		3	mx	2,1; Dx 0,61.
2.9	pi		0,024			0,188			0,452		0,336	mx	2,1; Dx 0,61.
	pi		0,024			0,188			0,452		0,336
2.10												mx	0,375.
2.10		xi		0			1			2	3	mx	0,375.
		pi		0,660			0,305			0,034	0,001	2.11 mx 1,8; x 0,72.
2.12. 7. 2.13 P(3) 0,3; P(2) 0,1.												2.11 mx 1,8; x 0,72.
2.12. 7. 2.13 P(3) 0,3; P(2) 0,1.												2.14. 1) 119/15; 2) 8/15.
2.16	mx		4,8.
2.17	M ( X )				1 p10			1,0526.
2.17	M ( X )							1,0526.
					1 p

112

2.18. а) 1. Прибавится слагаемое а; 2. и 3. Не изменятся. 4. Прибавит-

ся слагаемое a2 2am																	;					б) 1. Умножится на а; 2. Умножится на
																x
a2 ; 3. Умножится на																a		;					4. Умножится на a2 ; в)																	M (W ) 2,85;
a2 ; 3. Умножится на																a		;					4. Умножится на a2 ; в)																	M (W ) 2,85;
D(W ) 6,12; W 2, 48; 2 (W ) 14, 25.

		W			1				4					9
		P				0,55			0,35					0,10

						Y	0					1					3					5
2.19		a)				P	0,25					0,50					0,20					0,05

		в)			Z		-26					0					1					2						28				126
					P		0,05					0,20				0,25						0,30					0,15					0,05
2.20

T	2			2,5					3								6																M (T ) 6 e a (4 3,5 1,5a2 )

								a2																					a2
								a2																					a2
P	e a			ae a							e a				1 e a					1 a
									2

																													2
2.21			1) C ;										2) C						1		.
2.21			1) C ;										2) C								.

2.22		a = 3;					(		)											( )
2.23
1)							(		)								(			)								2)											( )		( )
1)							(		)								(			)								2)											( )		( )
3)							(		)								(			)								4)											(	)	(	)
																																		2
		a				1														2								0, Dx											2.
						1														2
2.24							, P			X													, mx
2.24							, P			X													, mx
						2								4			2																		4
		f (x)					sin 2x,								0 x / 2,													M ( X )
2.25		f (x)											x 0, x / 2,															M ( X )											.
							0,						x 0, x / 2,																								4
2.26 1) a b										1		;		(												)				;	(						)			(	)
2.26 1) a b												;		(												)				;	(						)			(	)
									3																						0, Dx								8,33, x		2,89.
2.27		0,4;					2.28 T = 10 мин.																	2.29, mx							0, Dx								8,33, x		2,89.
																						1		,	3						14					12		. 2.32
2.30		X				R(0,5;3,5) ;								2.31. 1)								1			3		;	2)			14			,		12				(	)	√
2.30		X				R(0,5;3,5) ;								2.31. 1)													;	2)						,						(	)
																						2 16									5				25
																												113

(			)											Указание. Длину отрезка АМ можно рассматривать как случайную ве-
(			)
личину			(						)				2.33							e a e b . 2.34. 0,982.
2.35 F(t) 1 e 0,2t , m 5, D 25,																													P(1 T 5) 0, 451.
																				t					t
2.36 1 e 2					0,86.													2.37				a) 2 xe x2							, x 0; б)							√					в)

																																			√
																																			√
f(x)={																												г)
f(x)={					√																							г)


			√
2.38	а) сместится вправо на 3 единицы; б) растянется по оси Ох в 3
раза. 2.39						P(1 X 3) 0,95; m 2; 2 0, 26. 2.40																																92.			2.41 0,4343.
2.42 30 мк.									2.43									0,898. 2.44									а) первая; б) первая;												2.45 0,56.
2.46	0. 2.47																					2.48. p = 0,468;								(		)								(	)
			(		)															2.49. 4,56%. 2.50. 0,29. 2.51 6; 2.52
а)	(	)			{																	(					)		б)	(			)		{						(	)
																						(					)

																						(					)														(	)


2.53	a)		(		)																			(					) б)	(			)								(	)

																√																					√
																√																					√
в)	(	)																				(		)

									√
									√

2.54	(		)										√									(				)	(		)						(	)
2.54	(		)																			(				)	(		)						(	)
											√
									1						e					s
2.55 g(s)									1										2 2		при s 0. 2.56 m									y						, D		y					.
2.55 g(s)								2 2											2 2		при s 0. 2.56 m													1		, D				( 2)( 1)2			.


2.57 m				1			, D										1			.
2.57 m		y					, D					y								.
		y	2									y			12
			2												12
Раздел III.

3.1			X\Y										0							1
3.1			0										0							0,25
			0										0							0,25
			1							0,75										0

												При											y 0					0 y 1			y 1
												При
													x 0										0					0			0
F (x, y)
F (x, y)													0 x 1										0					0			0,75

													x 1										0					0,25			0
													x 1										0					0,25			0
																													114
																													114

3.2	Зависимы.
3.2	Зависимы.							а)				ξ		-1	0				1		η	-1	1
												ξ		-1	0				1		η	-1	1
б)	2/3, 1/4;											p		1/3	1/4				5/12		p	1/2	1/2
												p		1/3	1/4				5/12		p	1/2	1/2

в)
			ξη\(ξ+η)			-2		-1	0		1			2
				-1		0		0	1/2		0			0
				0		0		1/12	0		1/6			0
				1		1/8		0	0		0			1/8

г)			ξ+η		-2	-1		0	1		2
			ξ+η		-2	-1		0	1		2					ξη			-1	0		1
			p		1/8	1/12		1/2	1/6		1/8					ξη			-1	0		1
			p		1/8	1/12		1/2	1/6		1/8						p	1/2		1/4		1/4
д)														е)			p	1/2		1/4		1/4
д)														е)

																				2
			max(ξ,η)				min(ξ,η)													2

																				1		2	3
							-1	0		1										1		2	3
							-1	0		1
															0					0		0	1/4
				-1			1/8	1/12		1/2					0					0		0	1/4
				0			0	0		1/6					1					0		1/4	0
				1			0	0		1/8
				1			0	0		1/8					2					1/2		0	0
3.3		а) D = 0,2;													2					1/2		0	0


б)	X			1		2		3						1	2					3		4		; в) 0; 0,29.
б)	X									;Y														; в) 0; 0,29.
				0,35		0,29		0,36					0,25		0,25				0,20			0,30
3.4					xy 1.

X\Y	0	1	2
0	0	0	2/15

1	0	8/15	0

2	1/3	0	0

	0,
	2ta t	2
	2ta t
3.5 F (t)
3.5 F (t)	a2
	a2
	1,

3.6 а) f (x) 1 x / 2, x [0,2];б)P{D1} 1/ 4.

1/ 2,	x	y	1,		1		x	,
1/ 2,	x	y	1,		1		x	,
3.7 f (x, y)				а) f1	(x)
			1.

0,	x	y				0,

t0,

,t [0;a], t a.

x1, x 1;

115

( y) 1

б)M ( ) M ( ) 0,

в) K 0,

0, г)

D( ) D( ) 1/ 6;

при

2(1

f ( y / x)

)

f (x / y)

)

0 в остальных случаях.

в остальных случаях.

Графики соответствующих

функций приведены на ри-

сунке.

3.8

Независимы.

1) F1

(x)

1 e

, x 0,

x 0;

, y 0, M ( )

F1 ( y) 1

, D( )

, M ( )

, D( )

;

y 0;

2) K 0,

0;3) H (x) M ( / x)

,G( y) M ( / y)

3.9

1) 2; 2) 14; 3) 14; 4) 28; 5) 42; 6) 8.

3.10

( )

∫

(

)

(

)

{

(

)

f (z)

, z 0, –

распределение Релея.

3.11

z 0.

3.12

m m

; D 2

3.13 (– 0,057; 0,057).

3.14

0,7;

p 0,33. 3.15

a) 1000;

b) 127 раз.

3.16 P(A) 0,5; P(B) 0,9742.

3.17 а) p 0?499;

б) p 0,841.

3.18

X mX

15) 0,844. 3.19

≈ 0,74.

3.20

P(51 Xi 60) 0,3644

116

Отформатировано: русский Отформатировано: русский

Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский

Раздел IY
4.1 a) 814,87 м2; б) 921,24 м2; 4.2
4.3 1)			)	)		)
5)		∑			∑ (	) 4.4 ̅=116

(			) 4.5	(5,249; 5,751); (1,525; 1,928); 4.6 не менее 11
измерений;			4.7 (4,761			) ̅
4.8	̅		(270,7; 779,82);			4.9 Принимается; 4.10 Прини-

мается; 4.11 Принимается; 4.12 Продукция первого завода качественнее; 4.13 Не требует; 4.14 Принимается; 4.15 Принимается;

4.16 Принимается;				4.17 Принимается;									4.18	Принимается.
								ПРИЛОЖЕНИЯ
											Приложение 1
					1				x2
Значения функции (x)					1			e	2


						2
						2
						Сотые доли x
X	0	1	2		3		4			5		6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988			3986			3984		3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956			3951			3945		3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885			3876			3867		3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778			3765			3752		3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637			3721			3605		3588	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467			3448			3429		3411	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271			3251			3230		3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056			3034			3011		2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827			2803			2780		2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589			2565			2541		2516	2492	2468	2444
1,0	2420	2396	2371	2347			2323			2299		2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107			2083			2059		2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872			1849			1827		1804	1781	1759	1736
1,3	1714	1692	1669	1647			1626			1604		1582	1561	1540	1518
1,4	1497	1476	1456	1435			1415			1394		1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238			1219			1200		1181	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057			1040			1023		1006	0989	0973	0957
1,7	0941	0925	0909	0893			0878			0863		0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748			0734			0721		0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620			0608			0596		0584	0573	0562	0551
					Десятые доли x
x	0	1	2		3		4			5		6	7	8	9
2,	0540	0440	0355	0283			0224			0175		0136	0104	0079	0060
3,	0044	0033	0024	0017			0012			0009		0006	0004	0030	0020
4,	0001
											117

											Приложение 2
						1			x	t2
Значения функции 0 (x)									e
										2 dt

						2
						2		0

				Сотые доли x
x	0	1	2	3				4		5	6	7	8	9
0,0	0,0000	0040	0080	0112			0160			0199	0239	0279	0319	0359
0,1	0398	0438	0478	0517			0557			0596	0636	0675	0714	0754
0,2	0793	0832	0871	0910			0948			0987	1026	1064	1103	1141
0,3	1179	1217	1255	1293			1331			1368	1406	1443	1480	1517
0,4	1554	1591	1628	1664			1700			1736	1772	1808	1844	1879
0,5	1915	1950	1985	2019			2054			2088	2123	2157	2190	2224
0,6	2258	2291	2324	2357			2389			2422	2454	2486	2518	2549
0,7	2580	2612	2642	2673			2704			2734	2764	2794	2823	2852
0,8	2881	2910	2939	2967			2996			3023	3051	3079	3106	3133
0,9	3159	3186	3212	3238			3264			3289	3315	3340	3365	3389
1,0	3413	3438	3461	3485			3508			3531	3553	3577	3599	3621
1,1	3643	3665	3686	3708			3729			3749	3770	3790	3810	3830
1,2	3849	3869	3888	3907			3925			3944	3962	3980	3997	4015
1,3	4032	4049	4066	4082			4099			4115	4131	4147	4162	4177
1,4	4192	4207	4222	4236			4251			4265	4279	4292	4306	4319
1,5	4332	4345	4357	4370			4382			4394	4406	4418	4430	4441
1,6	4452	4463	4474	4485			4495			4505	4515	4525	4535	4545
1,7	4554	4564	4573	4582			4591			4599	4608	4616	4625	4633
1,8	4641	4649	4656	4664			4671			4678	4686	4693	4700	4706
1,9	4713	4719	4726	4732			4738			4744	4750	4756	4762	4767

					Десятые доли x
x	0	1	2	3				4		5	6	7	8	9
2,	4773	4821	4861	4893			4918			4938	4953	4965	4974	4961
3,	4987	4990	4993	4995			4997			4998	4998	4999	4999	50001

1 Точное значение отличается меньше, чем на 5·10-5.

118

Список используемой и рекомендуемой литературы

1.Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 4: учеб. пособие для втузов / под общ. ред. А.В.Ефимова и А.С.Поспелова. – М.: Физматлит, 2004.

2.Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – М.:

Высш. шк., 2000.

3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс,

2004.

4.Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко. – М.: Айрис-пресс, 2004.

5.Кочетков Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: учеб. пособие / Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская. – М.: Форум: Ин-

фра-М, 2005.

6.Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad: Учебное пособие/ Р. И. Ивановский. – СПб.: БХВПетербург, 2008.

7.Краснов М. Л. Вся высшая математика: Учебник. Т. 5. Изд. 2-е, исправл./ М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И. Макаренко, Е. В. Шикин, В. И. Заляпин. – М.: Эдиториал УРСС, 2002.

8.Павлов С. В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.:РИОР, 2006.

9.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций: Учебное пособие. 3-е изд. перераб. / Под общей ред. А. А. Свешникова. – СПб. Издательство

«Лань», 2007.

10.Просветов Г. И. Теория вероятностей и математическая статистика: Задачи и решения: Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2009.

119

Оглавление

стр

Раздел I СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ……………………………………………………...3

1.1.Элементы комбинаторики…………………………………………………………………..3

1.2.Случайные события. Испытание. Поле событий. Пространство элементарных событий.

Действия над событиями………………………………………………………………7

1.3.Частота и вероятность события…………………………………………………..…….....10

1.4.Классическое определение вероятности……………………………………………… ..12

1.5.Аксиомы теории вероятностей. Основные теоремы и следствия………………………15

1.6.Геометрическое определение вероятностей………………………………………..........16

1.7.Условная вероятность. Независимость событий.Правила умножения и сложения вероят-

ностей………………………………………………………………………………….18

1.8.Формула полной вероятности. Формула Байеса………………………………………. .21

1.9.Повторные независимые испытания. 1) Формула Бернулли…………………………..25

2)Приближённые формулы в схеме Бернуи……………………………………………28

3)Отклонение относительной частоты от вероятности………………………………32 Раздел II СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ………………………………………………35 2.1. Случайная величина и её функция распределения………………………………….35 2.1.2 Дискретные случайные величины……………………………………………….36 2.1.3 Числовые характеристики случайных величин………………………………….38

2.1.4 Метод производящих функций…………………………………………………….41

2.3. Примеры распределений дискретных случайных величин……………………………41

2.2.1Биномиальное распределение Bi(n, p) ………………………………………..41

2.2.2Распределение Пуассона…………………………………………………………..42 2.3. Непрерывные случайные величины………………………………………………..46

2.3.1.Примеры непрерывных распределений…………………………………………52

1) Равномерное распределение R( )………………………………………………………52

2)Экспоненциальное (показательное) распределение E( ) ….........................................54

3)Показательный закон надёжности………………………………………………………..55.

4)Нормальное (гауссово) распределение N (a, ) ……………………………………...56

2.4.Функции непрерывной случайной величины………………………………………..60 Раздел III СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН…………………………………………63

3.2Двумерные распределения вероятностей………………………………………………..63

3.2.Условные законы распределения……………………………………………………….66

3.3Числовые характеристики случайного вектора. Корреляционный момент………….67

3.4Предельные теоремы теории вероятностей……………………………………………74

3.4.1.Закон больших чисел…………………………………………………………………..75

3.4.2.Центральная предельная теорема (ЦПТ)……………………………………………..77 Раздел IV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА…………………………………………80

4.1Основные определения: генеральная совокупность, выборки и их характеристики..80

4.2Вариационный и статистический ряды и их характеристики…………………………81

4.3Числовые характеристики выборочных распределений……………………………….83

4.4Гистограмма………………………………………………………………………………84

4.5.Статистическая оценка параметров распределения……………………………………85

Точечные оценки и их свойства……………………………………………………..85

4.6.Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии…………………………..86

4.7.Интервальные оценки. Доверительная вероятность ………………………………….89

4.7.1 Интервальная оценка МО нормального распределения с известной дисперси-

ей………………………………………………………………………………91

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика