Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Учебное пособие Теории вероятностей и математическая статистика

.pdf

Скачиваний:

271

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

простой гипотезы Н0 о том, что с. в. Х имеет непрерывную функцию распределения F (x).

Пусть задана некоторая выборка x1, x2 ,..., xn , по которой мы можем построить эмпирическую функцию распределения Fn (x) , и выдвигается простая гипотеза H0 : Fn (x) F(x). Границы двусторонней критической области определяется условием

D max		F (x) F(x)	(4.15)	кото-
n	x	n
	x
рое называется статистикой Колмогорова.
	Колмогоров доказал, что при n распределение статистики

n Dn не зависит от функции F (x) и стремится к закону распреде-

ления Колмогорова
P n Dn K ( ),	0,	(4.16)

где K ( ) функция распределения Колмогорова, для которой составлена таблица, наиболее употребимые значения которой приведены ниже:

	α	0,1		0,05		0,02				0,01		0,001	(4.17)
	λ	1,224		1,358		1,520				1,627		1,950

Критическое значение критерия							n	( ) вычисляется по заданному
											Dn , откуда критиче-
уровню α как корень уравнения							P		n
ское значение		D			. Если	D D				, то гипотеза Н принимается,

		0	n				n	0					0

в противном случае – отвергается.

Пример. При сверлении одним и тем же

l , мм	n	i	pi	сверлом получены следующие результаты
i		i		сверлом получены следующие результаты
40,10 – 40,15	13		0,162	измерения диаметров отверстий (п = 80):
40,15 – 40,20	14		0,175	С помощью критерия Колмогорова на
40,20 – 40,25	11		0,138	уровне значимости α = 0,01 проверить ги-
40,25 – 40,30	6		0,175	потезу о том, что выборка извлечена из ге-
40,30 – 40,35	7		0,087	неральной совокупности, равномерно рас-
40,35 – 40,40	3		0,038	пределённой на интервале (40, 10 – 40,60).
40,40 – 40,45	9		0,113	Решение. Функция распределения равно-
40,45 – 40,50	13		0,162	мерно распределённой с. в. Х в названном
40,50 – 40,55	4		0,050	интервале имеет вид
				101

	0,		x 40,10,

x 40,10
F (x)		, 40,10	x 40,60,
F (x)	0,5	, 40,10	x 40,60,
	0,5
	1,		x 40,60.
	1,		x 40,60.

Для нахождения по выборке Dn строим таблицу функций F(x) и

F٭(x)

	i	xi	F٭(xi)	F(xi)		di		i			xi			F٭(xi)				F(xi)	di
	1	40,10	0	0,0		0		7			40,40			0,675				0,6	0,075
	2	40,15	0,162	0,1		0,062		8			40,45			0,788				0,7	0,088
	3	40,20	0,337	0,2		0,137		9			40,50			0,950				0,8	0,150
	4	40,25	0,475	0,3		0,175		10			40,55			1				0,9	0,100
	5	40,30	0,550	0,4		0,150		11			40,60			1				1	0
	6	40,35	0,637	0,5		0,137
Из этой таблицы находим					D max				F	(x ) F (x )							0,175. По таб-
Из этой таблицы находим					D max				F	(x ) F (x )							0,175. По таб-
						n			n			i			i
лице (4.17) для α = 0,01 получаем							D						1,627			0,182, откуда
лице (4.17) для α = 0,01 получаем							D									0,182, откуда
							0					n		80
												n		80

следует, что гипотеза о равномерном распределении принимается.

Задачи

Тема «Характеристики выборки и точечные оценки»

4.1. Восемь независимых измерений расстояния между двумя геодезическими знаками дали следующие результаты: 369, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383 м. Систематическая ошибка отсутствует. Найти несмещённую оценку дисперсии ошибок измерения, если: а) длина измеряемого расстояния известна: ̅ м б) длина измеряемого расстояния неизвестна.

4.2. Чувствительность телевизора к видеопрограмме характеризуется выборкой, приведённой в таблице:

̃ мкВ		̃ мкВ			̃ мкВ
200	10	350		20	550	3
225	1	375		10	600	19
			102

250	26	400	29	625	3
275	8	425	5	650	1
300	23	450	26	700	6
325	9	500	24	800	4

Определить оценки МО и среднего квадратического отклонения для чувствительности телевизора к видеопрограмме.

4.3. Используя метод максимального правдоподобия (МП), найти параметры распределения по выборке.

1)	Биномиальное распределение	P (k) Ck pk qn k ,							выборка:
		n		n
6, 5, 9, 5, 8, 7, 9, 6, 6, 7.
2)	Распределение Пуассона P (k)		ak	e a ,	выборка: 5, 3, 3, 3, 5, 5,
2)	Распределение Пуассона P (k)			e a ,	выборка: 5, 3, 3, 3, 5, 5,
	a		k !
			k !
1, 2, 3, 0.
						x
			(x) e			x	,	x 0,
3)	Показательное распределение P		(x) e				,	x 0,	, выборка:
					0,			x 0.
0,61; 0,71; 1,27; 0,10; 1,49; 1,14; 2,15; 0,06; 0,74; 0,28.
4)	Равномерное распределение	(	) выборка: 0,35; 1,83; 0,14;
0,64; 2,08; -0,46; 2,0; -0,31; -0,30; 1,87.
5)	Нормальное распределение	(		), выборка					.

Замечание. Как видно в последнем случае, оценка дисперсии методом МП является смещённой. Следовательно, в этом методе оценки дисперсии, вообще говоря, нужно исправлять.

Тема «Интервальные оценки и доверительные вероятности»

4.4. Результаты измерений, не содержащие систематических ошибок, приведены в таблице в виде группированной выборки

i	м		i		м
1	114	2	4	117		4
2	115	5	5	118		3
3	116	8

и соответственно среднее значение и число элементов в i-том разряде. Определить оценку измеряемой величины и доверительный интервал при доверительной вероятности 0,95, считая ошибки измерения нормальными независимыми величинами.

103

4.5. На основании 100 опытов определено, что в среднем для производства детали требуется ̅ сек а ̅ сек. Допуская, что время для производства детали есть нормальная случайная величина, определить границы, в которых лежат истинные значения для ̅и

̅с доверительной вероятностью 85 и 90 соответственно.

4.6.Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально

со средним квадратическим отклонением м Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с ошибкой не более 15 м при доверительной вероятности 90?

4.7. Произведено 5 независимых равноточных измерений для определения заряда электрона (в (а.э.е ) ):

4,781; 4,795; 4,769; 4,792; 4,779.

Определить оценку заряда электрона и найти доверительные границы при доверительной вероятности 99, считая, что ошибки нормальны

иизмерения не имеют систематических ошибок.

4.8.При испытании 10 однотипных приборов зарегистрирован момент выхода каждого прибора из строя. Результаты наблюдений даны в таблице:

№ при-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
бора
час	200	350	600	450	400	400	500	350	450	550
Определить оценку математического ожидания									̅ времени Т безот-

казной работы прибора и доверительный интервал для ̅ при доверительной вероятности 0,9, если случайная величина Т имеет экспоненциальное распределение.

Тема: «Проверка гипотез»

4.9.Из ГС сделана выборка объема 20. X в 13,5; Dв 2,8. Проверить гипотезу о том, что генеральная средняя равна 14 при 0,01.

4.10.Из двух нормально распределенных генеральных совокупностей извлечены две выборки. X в,1 156,5; S1 6,9; n1 12;

X в,2 158,3; S2 5,4; n2 9. Проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при 0,02.

104

0,05.

4.11.Две выборки получены из нормально распределенных ГС. Х:

0,052; 1,504; -1,35; -1,124; -0,521. Y: 1,815; 0,101; -0,561; 0,236; 0,166; 0,227; -0,309. Проверить гипотезе о равенстве генеральных средних при 0,05.

4.12.Выборка из 50 ламп накаливания первого завода показала среднюю продолжительность времени работы 1282 часа и S1 80 ча-

сов. Выборка из 50 ламп накаливания второго завода показала среднюю продолжительность времени работы 1208 часа и

S1 92 часа. Предполагая, что время работы ламп имеет нормальное распределение, проверить гипотезу о том, что продукция обоих заводов имеет одинаковое качество при

4.13. Средний диаметр для случайной выборки из 65 подшипников, обработанных на станке, равен 0,24 при СКО S1 0,02 см. На следующий день из числа обработанных на этом станке деталей вновь отбирают 65 штук и устанавливают, что их средний диаметр 0,25 при S1 0,04. Приняв 0,05, выяснить, требует ли переналадки станок.

4.14. Используя критерий согласия Пирсона при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении для

следующих данных:

	102	106	110	114	118	122	126	130
	11	9	14	23	19	11	7	6

4.15. Используя критерий согласия Пирсона, проверить (при 0,05) гипотезу о равномерном распределении ГС.

	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
	11	14	15	10	14	16

4.16. Используя критерий согласия Пирсона, проверить (при 0,05) гипотезу о пуассоновском распределении ГС по выборке.

	0	1	2	3	4	5	6	7
	7	21	26	21	13	7	3	2

4.17. Используя критерий согласия Пирсона, проверить (при ) гипотезу о пуассоновском распределении ГС по выборке

105

0	1	2	3	4	5
8	28	31	18	10	5

4.18. Используя критерий Колмогорова, проверить гипотезу о нормальном распределении при уровне значимости

	(-	(20, 40]	(40, 60]	(60, 80]	(80, )
	8	10	12	7	13

Параметры нормального распределения принять равными

Лабораторная работа: «Линейная регрессия»

Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью, например, . Однако чаще всего для случайных величин наблюдается статистическая зависимость, когда изменению одной случайной величины отвечает среднее значение другой, что обусловлено действием многих случайных факторов. Мы будем рассматривать частный случай такой зависимости, которая называется линейной.


Уравнение вида ̅		( ) называется выборочным уравнением
регрессии	Можно рассматривать и обратную зависимость

̅( )

	Выборочное уравнение прямой линии регрессии									имеет вид
̅	̅		(			̅),	(1)
̅	̅		(			̅),	(1)
	где	∑		∑			̅		(2)


	выборочный коэффициент корреляции,								∑ ∑	– общее
число наблюдений.
	Алгоритм выполнения работы следующий.
	1. По данным корреляционной таблицы вычисляются условные
средние ̅					∑			̅̅̅̅̅̅̅ Строим точки (		̅ ) в си-
средние ̅					∑			̅̅̅̅̅̅̅ Строим точки (		̅ ) в си-

стеме координат и соединяем их отрезками прямой. Полученная ломаная линия является эмпирической линией регрессии Y на X .

2. Используя табличные данные, вычисляются средние ̅̅

106

	3. С помощью рассчитанных величин записывается уравнение (1)
прямой линии Y			на X.
	4. Оценивается коэффициент корреляции							. Если число наблю-
дений		и распределение случайных величин X, Y близко к
нормальному, то практически достоверно, что значение коэффициен-
та корреляции находится в интервале (						- 3	,	+ 3	), где	=
(	)/√ .				(3)
	Пример. Составить выборочное уравнение прямой линии ре-
	грессии		по корреляционной таблице
	X
	Y	10	20	30	40	50		60
									10
	5	3	7
									18
	10		7	11
					4	10			45
	15			31
					11	6			22
	20			5
					2	1			5
	25							2
					17	17
		3	14	47				2
	̅				19,	17,		2
		5	7,5	14,36	41	35		5
Исходные данные приведены в части таблицы, отделенной жирной
линией. Остальные величины вычисляются по известным формулам:

∑	;	∑	̅	∑	. Например,
∑	;	∑	̅	∑	. Например,
̅
̅
В координатах ( ̅		) строим точки (		) и соединяем их ломаны-
ми линиями.
			107

Вычисляем выборочный коэффициент и уравнение линии регрес-

сии:
̅		∑		(	)
	;

̅ =			(		)

̅̅̅∑

(

	)
̅̅̅	(	)



√̅̅̅	̅ =10,74;	√̅̅̅ ̅

∑̅

Наконец, записываем выборочное уравнение линии Y на X

̅ ̅ ( ̅) ̅ ( )

Опытная ломанная регрессии и рассчитанная линия регрессии приведены на рис. 4.7.

Определим интервал для значения коэффициента корреляции по


формуле (3).	= (	)/√ =(	) √
Следовательно,
3		и искомый интервал равен (0,58; 0,88).

108

Задача. Проверить гипотезу о нормальном распределении совокупности. Принять α = 0,05. При заданной надёжности оценить доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.

				Xi		10,6			15,6				20,6				25,6			30,6			35,6			40,6
				ni		8			10				40				22			15			3			2
2.
		Xi			100		110				120			130				140		150			160
		ni			4		6				10			40				20		12			8
3.
			Xi			130		140				150			160				170		180			190
			ni			5		10				30			25				15		10			5
4.
			Xi			26	32			38			44			50		56		62
			ni			5	15			40			25			8		4		3
5.

	Xi			12,4			16,4				20,4			24,4					28,4			32,4			36,4
	ni			5			15				40			25					8			4			3
																				109

Отформатировано: Шрифт: 16 пт

6.
	Xi			110				115					120				125			130				135			140
	ni			5				10					30				25			15				10			5
7.
	Xi			45			50				55			60			65			70		75
	ni			4			6				10			40			20			12		8
8.
		Xi			105				110					115				120			125				130				135
		ni			4				6					10				40			20				12				8
9.
		Xi			12,5					13,0					13,5				14,0				14,5			15,0				15,5
		ni			5					15					40				25				8			4				3
10.
			Xi			10,2						10,9				11,6				12,3				13,0				13,7			14,4
			ni			8						10				60				12				5				3			2

Ответы

Раздел I

1.1 120; 1.2

а) 18; б) 192; 1.3

1680; 1.4 26; 1.5 C2 15 ;1.6 7920;

1.7 20; 1.8

24; 1.9

A2 20. 1.10

21; 4620; 420; 792; 11. 3168000; 1.12

224;

13. 60; 1.14 5040; 210;

1.15 8; 1.16

59; 1.17

30; 1.18 40; 10; 28;

1.19

65; 1.20 2 (7!)2; 1.25 1/6; 1.26 Второе; 1.27 1/360; 1.28

если порядок извлечения карт не важен,

, если порядок ва-

жен; 1.29

; 1.30

; 1.31

; 1.32 P( A) 0,39;

P(B) 0,11;

P(C) 0,5.

1.33. а) 1; б) 0,2. 1.34 P(k)

Ck C49 k

, где k – число уга-

110

Отформатировано: русский

Отформатировано: русский Отформатировано: русский Отформатировано: русский

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика