3.4.Вариационные задачи на условный экстремум

Ввариационных задачах на условный экстремум на функцию X, помимо граничных условий, накладываются дополнительные ограничения в форме некоторых уравнений (уравнений связи) или неравенств. Такие задачи наиболее часто распространены на практике. Так в задачах синтеза систем управления такими уравнениями являются уравнения объекта управления.

Наиболее просто учитываются ограничения в форме уравнений. Здесь аналогично задачам на достижение условного экстремума функции применяется принцип неопределенных множителей Лагранжа, развитый с учетом разновидностей уравнений связи в вариационных задачах. Общий подход состоит в том, что задача на условный экстремум функционала вида (3) сводится к задаче на безусловный экстремум нового функционала

35

причем вид функции F1 (функции Лагранжа) зависит от вида уравнений связи.

Рассмотрим основные виды таких задач.

Задача Лагранжа (задача с дифференциальными связями):

граничных условиях xi (t0 )=xi 0 , xi (t1 )=xi 1 , i=1,2,...,n, причем допустимые кривые должны удовлетворять уравнениям связи

Условия (12) являются независимыми и не противоречат заданным граничным условиям.

Если хотя бы одно уравнение (12) содержит производную, такая задача называется задачей Лагранжа с дифференциальными связями. В частном случае, когда уравнения (12) имеют вид gj =gj (X,t), т. е. не содержат производных, имеем задачу Лагранжа с голономными связями.

Функция Лагранжа в задаче Лагранжа вводится следующим образом:

j=1

где ψj (t) – произвольные функции времени, выступающие здесь как аналог неопределенных множителей Лагранжа в задаче обеспечения экстремума функции.

Экстремум функционала (11) ищут на основе рассмотренной в подразд. 3.3 системы необходимых и достаточных условий, причем при поиске допустимых экстремалей здесь возникает ситуация, когда имеется n+m неизвестных функций: xi (t), i=1,2,...,n

и ψj (t), j=1,2,...,m. Для их нахождения имеются m уравнений связи, а также n уравнений Эйлера-Лагранжа, составляемых дифференцированием функции F1. Отметим, что для получения ре-

зультата функции ψj находить, вообще говоря, не требуется, и в ряде конкретных задач их удается исключить в ходе решения.

Условия трансверсальности и Лежандра также применяются к функции F1.

36

Найдем частные производные и составим систему уравнений Эйлера-Лагранжа и необходимые условия трансверсальности (левый конец в задаче закреплен, правый подвижен):

ловия трансверсальности, получим c1 =0, c2 =0 и x2 = 0 . После-

довательно интегрируя последнее уравнение и уравнение связи, получим уравнения экстремали: x2 =c3 , x1 =c3 t+c4 .

С учетом граничных условий находим допустимую экстре-

маль: x1 = t , x2 =1 .

Составим матрицу (7) и проверим выполнение условия Лежандра:

Вывод о характере экстремума сделать не удается. Тем не менее, с учетом неотрицательности интегранта значение функционала, доставляемое найденной допустимой экстремалью J=0, очевидно, является минимумом.

Таким образом, на кривой X = (t;1) обеспечивается минимум

величиной Smi n =0.

Изопериметрическая задача (задача с интегральными связя-

37

при граничных условиях xi (t0 )=xi 0 , xi (t1 )=xi 1 , i=1,2,...,n, причем допустимые кривые должны удовлетворять уравнениям связи в форме интегральных уравнений:

Отметим, что в отличие от задачи Лагранжа, количество уравнений связи здесь не ограничено.

Функция F1 вводится в данной задаче непосредственно в соответствии с принципом неопределенных множителей Лагранжа:

j=1

где λj – произвольные постоянные коэффициенты.

Пример 22. Обеспечить экстремум функционала J (x)= 1∫x2dt

0

при граничных условиях x(0)=0, x(1)=1 с учетом уравнения свя-

1

зи ∫xdt = 0 .

0

Составим функцию Лагранжа: F1 = x2 +λ1x .

Найдем частные производные и составим уравнение Эйлера (концы в задаче закреплены, условия трансверсальности не требуются):

Уравнения экстремали в изопериметрических задачах содержат дополнительные константы – множители Лагранжа. Количество таких констант соответствует количеству уравнений связи, которые и используются вместе с граничными условиями или условиями трансверсальности для нахождения коэффициентов уравнения допустимой экстремали.

Применим граничные условия:

x(0)=c2 =0, x(1)=λ/4+c1 =1, λ=4–4c1 .

Подставим последнее выражение в уравнение экстремали: x=t2 -c1 t2 +c1 t, а результат – в уравнение связи:

38

λ=12.

Врезультате уравнение допустимой экстремали: x = 3t2 − 2t .

Проверим выполнение условия Лежандра: ∂2 F1 = 2 > 0 .

∂x∂x

Если в задаче одновременно присутствуют уравнения связи

Для нахождения экстремума функционала к функции F1 применяются условия (5) ... (10) с учетом размерности задачи и полноты граничных условий.

Пример 23. Обеспечить экстремум функционала

5

J (x1, x2 )= ∫x22e−tdt при граничном условии x2 (0)= –2 с учетом

0

1

уравнений связи x1 = x2 , ∫x1dt =1.

0

Составим функцию Лагранжа: F1 = x22e−t +ψ1(x1 − x2 )+λ1x1 . Найдем частные производные и составим систему уравнений Эйлера-Лагранжа и необходимые условия трансверсальности (ле-

вый конец в задаче частично закреплен, правый подвижен):

39

Применив условия трансверсальности, получим c1 =0, λ1 =0,

c2 =0 и x2 = 0 .

Последовательно интегрируя последнее уравнение и уравнение связи, составим уравнения экстремали: x2 =c3 , x1 =c3 t+c4 .

С учетом граничных условий находим допустимую экстре-

маль: x1 = 2 − 2t , x2 = −2 .

Аналогично примеру 21 можно сделать окончательный вывод: на кривой X = (2 − 2t; − 2) обеспечивается минимум величиной

Smi n =0.

Задача Майера (задача управления конечным состоянием): найти векторную функцию X(t)=(x1 (t),x2 (t),…,xn (t)), удовле-

максимально (минимально). Отметим, что начальные условия могут быть заданы полностью или частично. Примеры такой задачи приведены во введении (примеры 3,4).

Задача Майера сводится к задаче Лагранжа, например, пред-

форме (13), составляются уравнения Эйлера-Лагранжа, условия трансверсальности и т. д. Вернемся к примеру 3.

Пример 3 (формализация задачи Майера и переход к задаче Лагранжа). Введем переменные состояния, образующие вектор-

ную функцию X(t)=(x1 (t),x2 (t),x3 (t),x4 (t)): x1 =h, x2 =v, x3 =m, x4 =u. Уравнения связи примут вид:

x1 = x2 ,

40

получаем задачу Лагранжа.

Задача Больца: найти векторную функцию X(t)=(x1 (t),x2 (t),…,xn (t)), удовлетворяющую уравнениям связи

ϕl (t0 , X(t0 ),t1, X(t1 ))= 0 , l=1,2,...,k, которая доставляет экстре-

мум функционалу J (X)= t∫1 f0 (X, X,t)dt + Ψ(t0 , X(t0 ),t1, X(t1 )). От-

t0

метим, что в частных случаях граничные условия могут иметь вид, рассмотренный в предыдущих задачах.

Для перехода к задаче Лагранжа здесь вводится дополнительная составляющая вектора X

Независимость функции (16) от времени t далее учитывается в форме дополнительного уравнения связи xn+1 = 0 . С учетом (16)

оптимизируемый функционал приводится к стандартному виду

Заданы ненулевое значение x(0)=x0 , положительные a0, a1, α, конечное T0.

41

Обозначим исходную переменную x=x1 и введем дополнитель-

J (x1, x2 )= T∫0(a0 x12 + a1x12 + x2 )dt .

0

Составим функцию Лагранжа, найдем ее производные, составим уравнения Эйлера-Лагранжа и условие трансверсальности:

F1 = a0x12 + a1x12 + x2 +ψ1x2 ;

Отметим, что поскольку уравнение для x1 оказалось изолированным, первое дифференциальное уравнение решать не требуется и можно ограничиться только одним условием трансверсальности. Решение последнего уравнения дает общее выражение для

выходного сигнала САУ: x=x1 =c1 ek t +c2 e- k t , где k = a0 a1 . Применим граничное условие и условие трансверсальности:

x(0)=c1 ek 0 +c2 e- k 0 =c1 +c2 =x0 ,

x(0)= c1kek0 −c2ke−k0 = c1k −c2k = 0 , c1=c2=x0/2.

Таким образом, здесь в отличие от примера 16 обе константы c1 и c2 оказываются ненулевыми, в выражении для выходного сигнала содержатся экспоненты как с отрицательным, так и с положительным показателем степени, а характеристический полином САУ должен иметь вид D(s)=(s+k)(s–k).

Отметим, что с точки зрения теории управления такая система является асимптотически неустойчивой [2]. Действительно, если работа системы рассматривается на ограниченном интервале времени, работоспособной и, как в рассмотренном примере, оптимальной может быть и неустойчивая с точки зрения классического предельного подхода система.

42