- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ
- •1.1. О методе размерностей
- •1.2. Некоторые сведения из кинематики жидкости
- •1.3. Дифференцирование по времени интеграла, взятого по объему, который движется вместе с жидкостью
- •1.4. О записи уравнений движения в различных системах координат
- •2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ КАК СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
- •2.1. Уравнение закона сохранения массы
- •2.2. Уравнение количества движения
- •2.3. Уравнение энергии
- •2.4. Уравнения термодинамического состояния
- •2. 5. Вязкие напряжения и теплопроводность
- •2.6. Некоторые дополнительные сведения из термодинамики
- •3. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
- •3.1. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •3.2. Скорость звука
- •3.3. Различные формы записи уравнения Бернулли
- •3.4. Одномерное установившееся течение газа в канале переменного сечения
- •3.5. Некоторые примеры применения уравнения Бернулли
- •3.6. Установившееся истечение газа из сосуда через отверстие
- •3.7. Неустановившееся истечение газа из сосуда (опорожнение сосуда)
- •4. ВОЛНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ТЕЧЕНИИ
- •4.1. О качественном различии дозвуковых и сверхзвуковых течений. Течение разрежения. Ударные волны
- •4.2. Течение Прандтля - Майера
- •4.3. Основы теории ударных волн
- •4.5. Конус в сверхзвуковом потоке
- •4.6. Теория Ньютона
- •4.7. Метод характеристик
- •Библиографический список
Q
Qmax
3
1 |
2 |
1
0 |
|
|
|
|
pн |
|
x |
|
x |
1 p0 |
|||
|
||||||
|
|
|
перехода |
Рис. 3.11. Влияние расширяющегося насадка на расход газа при истечении его из сосуда
Поведение действительной зависимости связано с тем, что в расширяющейся части насадка возникает развитое турбулентное течение с профилем скорости типа струйного. Ход кривой 3 существенно зависит от угла раствора насадка и степени его расширения. Уменьшение угла раствора и увеличение степени расширения приводит к смещению расходной характеристики в направлении кривой 2.
Опыты свидетельствуют, что затягивание критического режима в "горле" насадка при максимальном расходе становится возможным до высоких докритических отношений (pH / p0 )перехода = 0,8 ÷ 0,9 , что существенно отличается от крити-
ческого отношения (pH / p0 )* , которое для воздуха равно 0,528.
3.7. Неустановившееся истечение газа из сосуда (опорожнение сосуда)
Рассмотрим задачу о неустановившемся истечении газа из сосуда конечного объема V через малое отверстие площадью Fa .
Как и в предыдущей задаче, площадь отверстия предполагается малой в сравнении с поперечным сечением сосуда, скорость
187
газа в сосуде равной нулю, соответственно параметры газа в со-
суде можно считать параметрами |
|
|
|
|
|
|
|
||
торможения (рис. 3.12). |
V |
|
|
|
Объем сосуда |
считаем по- |
pн |
|
|
υ0 = 0 |
|
|||
стоянным. Начальные параметры |
na |
|||
газа в сосуде, соответствующие |
p0 |
а υa |
|
|
началу процесса |
опорожнения, |
ρ0 |
|
|
обозначим индексом “ 00 ”, те- |
T0 |
|
|
|
кущие мгновенные их значения – |
|
|
||
|
|
|
||
индексом “ 0 ”, параметры газа в |
Рис. 3.12. Опорожнение сосуда |
|
||
отверстии – “ a ”, |
а параметры |
|
|
|
окружающей среды – “ н ”. Таким образом, для расчета процесса опорожнения сосуда будем основываться на положениях так называемой “нульмерной” теории, согласно которой все газодинамические параметры внутри сосуда осредняются по объему и их считают одинаковыми в данный момент времени во всех точках сосуда. Поэтому давление, плотность, температура газа внутри
сосуда |
являются |
функциями |
только |
времени, |
т.е. |
p0 = p0 |
(t); ρ0 = ρ0 (t); T0 =T0 (t); v0 = 0 . |
|
|
||
Рассмотрим систему уравнений, |
определяющих изучаемый |
процесс. Закон сохранения массы переписывается в виде (см. (2.10))
V |
dρ0 |
= −Q , |
(3.55) |
|
|||
|
dt |
|
|
причем Q представляет собой секундный массовый расход: |
|
||
Q = ∫∫ρvndS =ρava Fa , |
(3.56) |
||
Fa |
|
где предполагается, что параметры газового потока в выходном сечении a −a распределены равномерно.
Закон количества движения для описания процесса изменения параметров газа в сосуде записывать не следует в силу нульмерной постановки, поскольку скоростью газа внутри сосуда мы пренебрегаем и этот закон тождественно удовлетворяется.
Закон сохранения энергии для невязкого газа в предположении об отсутствии теплообмена дает изэнтропическую связь параметров газа в сосуде для любого момента времени (см. (2.38)):
p0 |
= |
p00 |
. |
(3.57) |
ργ |
|
|||
|
ργ |
|
||
0 |
|
00 |
|
|
|
|
188 |
|
Для дальнейшего упрощения задачи полагаем процесс истечения квазистационарным. Это значит, что нестационарный процесс истечения рассматривается как непрерывная последовательность стационарных состояний, т.е. в каждый момент времени считаются справедливыми соотношения, полученные для стационарного режима. Это дает возможность использовать уравнение Бернулли:
|
va2 |
+ |
γ |
|
pa |
= |
γ |
|
p0 |
, |
(3.58) |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
γ −1 ρa |
γ −1 ρ0 |
|
связывающее параметры газа в отверстии и в сосуде в один и тот же момент времени и записанное в предположении о постоянстве энтропии для частиц газа, вытекающих из сосуда:
|
pa |
= |
p0 |
|
. |
(3.59) |
|
ρaγ |
ρ0γ |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Для определения температуры газа в сосуде используется |
||||||
уравнение Клапейрона: |
|
|
|
|
|
|
p0 = ρ0 RT0 . |
(3.60) |
|||||
Таким образом, мы получили шесть уравнений (3.55)–(3.60), |
||||||
содержащие семь неизвестных: |
p0 |
, ρ0, |
T0, va , pa , ρa , Q . |
Последнее замыкающее соотношение вытекает из условий течения газа в выходном сечении F a . При этом, как уже отмеча-
лось, в зависимости от соотношения давлений в окружающей среде рн и в сосуде p0 следует различать два режима истечения.
Первый режим – критический (сверхкритический) – характеризуется диапазоном отношения давлений 0 ≤ рн р0 ≤ х , где
γ
x = 2 γ −1 представляет собой критическое отношение дав-
γ +1
лений, соответствующее движению газа со скоростью звука. Скорость истечения при этом равна местной скорости звука. Давление газа в отверстии равно критическому:
γ
pa = 2 γ −1 p0 = x p0 . (3.61)
γ +1
189
Расход газа является максимально возможным и определяется его параметрами в сосуде.
Второй режим истечения – докритический – характеризуется диапазоном отношения давлений х < рн р0 ≤1. Скорость исте-
чения через отверстие при этом меньше скорости звука. Давление газа в отверстии равно наружному давлению:
(3.62)
Расход газа меньше максимально возможного. Все характеристики истечения зависят не только от параметров газа в сосуде, но и, весьма существенно, от давления окружающей среды.
Соотношения для нахождения числа Маха Ma (на первом режиме) и давления pa (на втором режиме) определяют недос-
тающие условия и замыкают задачу.
Задача опорожнения сосуда может решаться следующим образом. Из уравнения (3.58) с учетом (3.59) получаем выражение для скорости va (формула Сен-Венана), затем из (3.59) выража-
ем плотность в отверстии ρa . Подставляя их выражения в (3.55), получаем уравнение, которое используется для нахождения давления газа в сосуде p0 как функции времени:
V d ρ00 p0
dt p00
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
1 |
p |
|
1 |
p |
|
|
γ−1 |
|
|||||
|
γ |
|
|
2γ |
|
|
|
|
0 |
|
γ |
a |
|
γ |
a |
γ |
|
.(3.63) |
||||||
|
|
|
= −F |
|
|
p |
0 |
ρ |
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
a |
γ−1 |
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p00 |
p0 |
|
p0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение pa в этом уравнении следует принимать по формуле (3.61) или (3.62) в соответствии с режимом истечения. Поскольку эти формулы, определяющие давление газа в отверстии, оказываются различными, то различны и расчетные соотношения. Рассмотрим последовательно оба режима.
Критический (сверхкритический) режим. Интегрирование уравнения (3.63) с учетом (3.61) позволяет получить следующую
формулу для расчета изменения давления внутри сосуда: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 |
|
= (1+ Bt)− |
2γ |
, |
(3.64) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ−1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p00 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
γ+1 |
|
|
|
|
|||
|
|
γ −1 |
|
2 |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2(γ−1) |
|
|
|
|
||||||||
где |
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
γRT00 . |
|
|||
2 |
|
γ +1 |
|
|
V |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
190 |
|
|
|
Тогда, учитывая (3.57) и (3.60), а также выражение для скорости звука a = γRT , текущие плотность, температуру и скорость звука внутри сосуда можно рассчитать по формулам
ρ |
|
|
p |
|
|
1 |
|
T |
|
|
p |
|
|
γ−1 |
|
a |
|
|
p |
|
|
γ−1 |
|
||
0 |
0 |
γ |
; |
0 |
0 |
γ |
|
; |
0 |
0 |
2γ |
|
. |
||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||
ρ00 |
|
p00 |
|
|
|
T00 |
|
p00 |
|
|
|
|
a00 |
|
p00 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость |
|
газа |
|
|
в |
отверстии равна |
|
скорости звука: |
||||||
va =aa =aкр |
= |
2 |
|
|
a0 . Число Маха в отверстии: |
Ma =1 . |
||||||||
|
|
γ +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Секундный массовый расход |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
p |
|
F |
|
|
2 |
|
|
γ+1 |
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2(γ−1) |
|
|
||||||
Q = |
f (γ, R) |
|
0 a |
, где f |
(γ, R)= |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
T0 |
|
|
γ +1 |
|
R |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критический режим истечения газа из сосуда сохраняется до того момента времени t , при котором давление в баллоне p0
станет равным: p0 = pн x , т.е. пока обеспечивается сверхкритический перепад давлений p0 pн . Значение t определяется из (3.64), если положить p0 = p0 :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
γ−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
00 |
|
|
|
2γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
p0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С этого момента начинается докритический режим истече- |
||||||||||||||||||||||||||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Докритический режим. Из основной зависимости для дав- |
||||||||||||||||||||||||||||
ления (3.63) при условии (3.62) можно получить уравнение |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
(p0 )= −Af (po ), |
|
|
|
(3.65) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3(γ−1) |
|
γ−1 |
|
|
|
γ−1 |
|
|
|
|
|
|
2γ RT00 |
Fa |
(pн ) |
1 |
|
||||||||
где |
f (p0 )= p |
|
2γ |
|
1−(pн ) |
(p0 )− |
; |
A = γ |
; |
||||||||||||||||||||
0 |
|
γ |
γ |
γ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ −1 |
V |
|
|
|
p0 |
= |
p0 |
; pн = |
pн |
; p00 = ρ00 RT00 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
p00 |
|
p00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
191 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение (3.65) решается численно. Поступая несколько иначе, после формального интегрирова-
ния его можно переписать так:
|
|
|
|
|
t =t + |
1 |
J (p0 ,γ ), |
|
|
|
|
(3.66) |
||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
γ−1 |
|
|
|
− |
γ+3 |
|
γ−1 −0,5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2γ |
|
p |
|
2γ |
|
J (p, γ)= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где c = γ |
RT |
н |
; |
|
2γ |
|
1− x |
γ dx . |
||||||||||
|
a |
|
|
∫ |
x |
|||||||||||||
|
γ −1 |
00 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для некоторых газов (в зависимости от γ ), например для воздуха, интеграл J (p, γ) берется аналитически. Уравнение (3.66) можно использовать для определения давления p0 .
Скорость газа в отверстии и расход можно вычислить по формулам
|
|
|
|
|
|
2γ |
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
γ −1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
н |
|
γ |
|
|||||||||
va = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
γ −1 |
ρ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
p0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
2γ |
p |
|
|
|
|
p |
|
|||||
|
|
|
н |
γ |
|
|
0 |
н |
||||||||||||||
Q = F |
ρ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
γ −1 ρ0 |
|
p0 |
||||||||||||
|
|
|
|
p0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность, температура и скорость звука:
γ −1γ .
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
н |
|
γ |
|
|
|
p |
н |
|
|
ρa |
|
|
|
; |
Ta |
= |
|
; |
aa = γRTa . |
|||
|
|
|
|
|||||||||
= ρ00 |
p00 |
|
ρa R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отметим, что значения ρa , |
Ta |
и aa |
не изменяются на про- |
тяжении докритического режима истечения. Зная va и aa , число Маха в отверстии можно вычислить, исходя из его определения, по формуле M a = va /aa .
Приведенные формулы позволяют рассчитать значения параметров истечения в любой момент времени. На рис. 3.13 приведены графики изменения основных параметров истечения в функции времени.
192