3. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)

3.1. Общие принципы метода статистических испытаний

Различают физическое и математическое моделирование. При физическом моделировании модель воспроизводит изучаемую систему с сохранением ее физической природы. Классическим примером физического моделирования является продувка масштабных моделей летательных аппаратов в аэродинамических трубах. Более широкие возможности предоставляет математическое моделирование. При изучении любой системы этим методом необходимо построить ее математическую модель. Как правило, реальная система находится под воздействием случайных факторов или сам механизм функционирования содержит элементы случайности. Математическая модель, содержащая случайные элементы, называется вероятностной моделью.

Существуют различные пути исследования вероятностной модели: 1) аналитическое исследование; 2) аналитическое исследование с применением численных методов; 3) аппаратурное моделирование; 4) статистическое моделирование.

Непосредственное экспериментальное изучение сложных случайных явлений часто требует чрезмерно больших затрат средств и времени. Тогда прибегают к статистическому моделированию изучаемых явлений. Современная вычислительная техника дает возможность имитировать практически без ограничений сложнейшие явления и процессы. Это привело к созданию метода статистического моделирования как научного метода исследования, позволяющего сочетать теоретические расчеты с имитацией различных экспериментов.

Свою историю статистическое моделирование начинает от метода

Монте-Карло, предложенного фон Нейманом и Уламом в 1940 году для решения детерминированных задач с помощью случайных величин, имитируемых на ЭВМ. Метод Монте-Карло, или метод статистических испытаний, относится к классу статистических и служит для получения некоторых сведений о распределении случайной величины X после получения ряда ее реализаций, т.е. решает типичную задачу математической статистики, которая изучает методы оценки параметров распределений случайной величины на основе ее реализаций.

Метод статистических испытаний применяют для решения не только тех задач, в которых в явном виде имеются случайные явления, но также и

Джон фон Нейман (1903-1957) - американский математик.

Станислав Марцин Улам (1909-1984) – американский математик

61

для решения многих математических задач, не содержащих таких явлений. В этом случае искусственно подбирают такое случайное явление, характеристики которого связаны с результатом решения исходной задачи. Для определения числовых значений этих характеристик используется метод статистических испытаний.

В задаче оценки математического ожидания, например, по методу Монте-Карло традиционной оценкой является среднее арифметическое.

Идея метода статистических испытаний основана на законе больших чисел. Наиболее простая вычислительная схема при этом заключается в следующем. Если решается задача оценки среднего значения некоторой случайной величины, то вычисляются N независимых реализаций случайной величины и ее математическое ожидание (среднее значение) оценивается с помощью среднего арифметического этих реализаций. Оценка

погрешности может быть получена, например, по неравенству Чебышева

1 N . Также может быть оценено и N , гарантирующее необходимую

точность с заданной вероятностью.

Моделирование на ЭВМ случайных элементов подчиняется двум основным принципам:

1)сходство между случайным элементом - оригиналом и его моделью на ЭВМ состоит в совпадении или близости вероятностных законов распределения или числовых характеристик;

2)всякий случайный элемент конструируется как некоторая борелевская функция от простейших, так называемых базовых случайных величин.

Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) – русский математик и механик.

62

3.2. Датчики базовой случайной величины (БСВ)

Датчик БСВ - устройство, позволяющее по запросу получить реализацию x или несколько независимых реализаций x1, x2 ,..., xn базовой слу-

чайной величины X . Существуют три типа датчиков: табличные, физические и программные.

Табличный датчик БСВ - это таблица случайных чисел, представляющая собой экспериментально полученную выборку реализаций равномерно распределенной на промежутке [0,1] случайной величины. Можно

заранее составить таблицы этих значений, используя, например, физические генераторы. Существуют и готовые таблицы случайных чисел. Однако при расчетах на ЭВМ такие таблицы, как правило, не используются. Их хранение во внутренней памяти ЭВМ обычно невозможно вследствие ее загруженности информацией, относящейся непосредственно к задаче.

Физический датчик БСВ - специальное радиоэлектронное устройство, служащее приставкой к ЭВМ. Оно состоит из источника флуктуационного шума (например, флуктуационно шумящей радиолампы), значение кото-

БСВ может быть использован и источник радиактивного распада. Счетчик подсчитывает количество радиактивных частиц за некоторое время t. Если число частиц четное, то в разряд посылается единица, если нечетное, то нуль. При параллельной работе k генераторов будет получено значе-

ние k - разрядной двоичной дроби. Время t выбирается таким, чтобы вероятность получения в разряде единицы, так же как и вероятность получения нуля, была равна 0.5. Недостатки физического датчика БСВ: невозможность повторения некоторой ранее полученной реализации x ; схемная нестабильность, приводящая к необходимости контроля работы датчика при очередном его использовании.

Программный датчик БСВ (псевдослучайные последовательности чисел). Возможен и следующий подход к моделированию случайной величины X , имеющей равномерное распределение на [0,1]. Эту величину

получают с помощью некоторой рекуррентной формулы, причем X обладает статистическими свойствами, близкими к свойствам равномерного распределения на отрезке [0,1]. Полученную последовательность чисел

называют псевдослучайной.

Один из первых методов получения псевдослучайной последовательности чисел был предложен Джоном фон Нейманом. Он называется методом середины квадратов.

63

Возьмем некоторое число r0. Пусть r0 = 0.9876. Возведем его в квадрат r02 = 0.97535376. Выберем четыре средние цифры этого числа и положим r1 = 0.5353. Затем возводим r1 в квадрат: r12 = 0.28654609 и снова выбираем четыре средние цифры. Получаем r2 = 0.6546 и так далее.

Метод псевдослучайных последовательностей прост и экономичен; на получение каждого числа затрачивается всего несколько простых операций. Однако он имеет ряд существенных недостатков, главный из которых - трудность теоретической оценки статистических свойств псевдослучайной последовательности. Помимо этого, числа, входящие в вырабатываемую программным способом псевдослучайную последовательность, зависимы между собой, а сама последовательность является периодической, так как в ЭВМ может быть представлено только конечное число различных чисел и повторное появление какого-либо числа и всех последующих за ним чисел неизбежно.

3.3. Моделирование на ЭВМ стандартной равномерно распределенной случайной величины (базовой случайной величины)

Рассмотрим случайную величину

кретные случайные величины, принимающие значения 0, 1 с равными вероятностями, т.е. P(βi = 0)= P(βi =1)=12, а βn равномерно распределена на [0,1]. Путем довольно несложных преобразований методом математической индукции доказывается, что

бесконечным числом значащих цифр. Это предполагает либо сколь угодно большую точность отсчета, либо бесконечное число реализаций n. Эта задача решается приближенно, решение в любом случае не тривиально.

64

Подавляющее большинство алгоритмов работает на основе рекур-

ленная функция целочисленных аргументов; x0 , x1,..., xk −1 - целые (пуско-

мультипликативный метод. Имеется обширная литература, в которой обсуждаются свойства последовательностей, полученных таким методом. Опишем более подробно суть мультипликативного конгруэнтного метода (метода вычетов).

Псевдослучайная последовательность вычисляется по рекуррентным формулам

числа x0 , x1 ,... {0,1,2,..., P −1}. Отсюда следует, что 1) последовательность {xi }, а значит и {xi } всегда «зацикливается», т.е. начиная с некоторого номера i ≥ i0 образуется цикл, повторяющийся бесконечное число раз; 2) период последовательности T ≤ P −1.

Параметры β, P и x0 определяются таким образом, чтобы величина

T была максимальной. Наиболее распространены три варианта выбора

P :

Жорж Леметр (1894-1966) - бельгийский математик, физик и астроном.

65

1) P = 2q , где q - число двоичных разрядов, используемых для зада-

ния целой константы в ЭВМ. Например, P = 231 = 2147483648. Так как T ≤ P −1 , то целесообразно модуль P выбирать максимально возможным;

2)P = 10q ;

3)P - простое число.

3.4.Моделирование дискретной случайной величины при помощи

случайных событий

Если случайная величина дискретна, то ее моделирование можно свести к моделированию независимых испытаний. Пусть имеется следующий ряд распределения

полную группу событий, и для их моделирования можно использовать следующую процедуру.

торых соответственно равны p1, p2 ,..., pn . Получаем как и прежде после-

Помимо описанного общего алгоритма моделирования дискретной случайной величины для многих законов существуют специальные алгоритмы. Рассмотрим два примера: моделирование биномиального и пуассоновского распределений.

Моделирование случайной величины с биномиальным распределением.

где p - вероятность появления события в каждом отдельно взятом испытании, n - число испытаний. Введем индикатор - случайную величину Xi , показывающую, появилось или нет интересующее нас событие в i -м испытании. Величина Xi , очевидно, может принимать только два значения: либо 1 с вероятностью p , либо 0 с вероятностью 1 − p. Итак,

ряд распределения индикатора. Тогда в n испытаниях интересующее нас событие появится m раз m = X1 + X 2 +... + X n , где m будет очередным

значением случайной величины X , распределенной биномиально с параметрами n, p .

Итак, определение значения случайной величины Y = m сводится к следующей процедуре:

1)получают последовательность значений r1,r2 ,...,rn случайной величины R R[0,1];

2)для каждого числа ri ,i =1, 2,..., n проверяют, выполняется ли нера-

венство ri < p. Если неравенство выполняется, то полагают Xi =1, в противном случае считают Χi = 0 ;

3) находят сумму значений n случайных величин Xi , т.е.

n

Y = m = ∑X i ;

i=1

67