равна hZ = 0.9097.

2.5. Гамма–распределение

Гамма–распределение полезно при представлении распределения величин (вес, длина), которые не могут быть отрицательными или значения которых ограничены снизу известным числом. Как и семейство распределений Вейбулла, семейство гамма–распределений включает экспоненциальное распределение как частный случай.

Гамма–распределение определяется формулой

Распределение двухпараметрическое. Параметр масштаба β > 0 , часто используется другой параметр λ, λ = 1β. При α = 0 уравнение (2.5.1) дает функцию плотности вероятности экспоненциального распределения.

α в распределении должно быть больше –1.

Вид функции плотности вероятности и функции распределения сильно зависят от параметра α. На рис. 2.7 приведены графики функций плотностей (слева) и функций распределения (справа) для значений параметра α, равного нулю (для f 1 и F1), двум (для f 2 и F 2 ) и семи (для

f 3 и F3 ).

49

Рис. 2.7. Кривые плотности и распределения гамма-распределения

Числовые характеристики распределения:

1)математическое ожидание mX = β(α +1);

2)дисперсия DX = β2 (α +1);

3)мода d X = βα, α ≥ −1 ;

4)коэффициент асимметрии A = 2 α +1 ;

5)коэффициент эксцесса E = 6(α +1) .

При α +1 = n2 и β = 2 гамма–распределение совпадает с χ 2 -рас- пределением с n степенями свободы. Сумма двух независимых случайных величин, имеющих гамма–распределение с параметрами α1 +1 и α2 +1 соответственно, имеет гамма–распределение с параметром

α1 + α2 + 2.

2.6. Распределение Вейбулла (Вейбулла – Гнеденко )

Это распределение весьма широко применяется в последние два десятилетия. Особенно оно полезно в задачах долговечности и надежности. Его можно рассматривать как обобщение экспоненциального распределения, поскольку в нем три параметра, и оно сводится к экспоненциальному при подходящем выборе одного из них.

Борис Владимирович Гнеденко (1912-1995) - советский математик.

50

Плотность распределения вероятностей смещенного (трехпараметрического) распределения Вейбулла определяется как

Параметр масштаба b иногда называют характерным временем жизни. Обычно распределение делают двухпараметрическим, полагая a = 0. Тогда получают так называемое классическое распределение Вейбулла с плотностью вероятности

Здесь α, λ > 0 и α = с, λ =1bc , а параметр α называется параметром формы. При α = 0 и α =1 уравнение (2.6.2) превращается в функ-

цию плотности экспоненциального распределения. Обычно проще работать с функцией распределения Вейбулла, которая имеет вид

Графики функции распределения и функции плотности вероятности зависят от значения параметра формы α (или c в формуле (2.6.1)). Далее на рис. 2.8 приведены графики функций плотности вероятностей и функ-

Рис. 2.8. Кривые плотности и распределения закона Вейбулла

ций распределения для ряда значений параметра формы: f 1 и F1 для α = 1 , f 2 и F 2 для α = 3 , наконец, f 3 и F3 для α = 8 .

Числовые характеристики двухпараметрического распределения выражаются через гамму-функцию и равны:

51

4)медиана hX = b(ln 2)1c ;

5)коэффициент асимметрии

Распределение Вейбулла часто используется в теории надежности для описания времени безотказной работы приборов.

2.7. Лабораторная работа № 2. Семейства вероятностных распределений в математических пакетах STATGRAPHICS и MAHTCAD

Пакет STATGRAPHICS Plus for Windows предоставляет возможность работать с 22 наиболее распространенными распределениями вероятностей: Бернулли, биномиальным, дискретным равномерным, геометрическим, отрицательным биномиальным, Пуассона, бета-распределением,

распределением χ2 -квадрат, Эрланга , экспоненциальным, распределени-

ем экстремального значения, F -распределением (распределением дисперсионного отношения), гамма–распределением, распределением Лапласа,

Агнер Краруп Эрланг (1878-1929) – датский математик.

52

кнопкой мыши по кнопке ОК эти данные заносятся в поле заставки геометрического распределения.

Формы представления выбранного распределения можно задать с помощью двух пунктов меню заставки геометрического распределения ве-

роятностей Tabular Options и Graphics Options. Меню Tabular Options име-

ет следующий вид (рис. 2.11). Процедуры этого меню при задании пунктов выставлением галочки в соот-

следующим образом. Для одного значения переменной (по умолчанию x0 = 0 ) вычисляются вероятности левого (Lower Tail Area) и правого (Up-

per Tail Area) хвостов распределения, т.е. вероятности P(X < x0 ) и P(X > x0 ), и вероятность (для дискретных распределений) или значение функции плотности (для непрерывных) при x = x0 . Переменную x0 мож-

но изменить или задать до пяти ее различных значений, щелкнув правой кнопкой мыши в поле заставки Cumulative Distribution и выбрав пункт меню Pane Options.

Появится дополнительное подменю следующего вида (рис. 2.12). Введем в поля ввода этого меню такие значения: 0.1, 1.0, 5.0, 10.0 и 30.0.

Inverse CDF (Обратная функция распределения, значения процентилей) вычисляет для заданных на заставке геометрического распределения вероят-

ностей 0.05, 0.25, 0.5, 0.75 и 0.95 про-

цент наблюдений, лежащих левее указанного числа. Можно задать и иные значения. Для этого необходимо щелч-

ком правой кнопки мыши вызвать пункт меню Pane Options и в появившейся заставке задать набор из пяти нужных числовых значений.

Random Numbers (Случайные числа) порождает последовательность

54

независимых одинаково распределенных случайных чисел, подчиняющихся выбранному распределению – одному из упомянутых двадцати двух.

В пункте Graphics Options (рис. 2.13) можно построить графики следующих функций.

Density/Mass Function – функция плотности вероятности для непрерывных распределений или графическое изображение ряда распределения для дискретных распределений. Графики функций выдаются с соответствующими заголовками и автоматически оцифровываются.

Если на график выводится несколько кривых, то они обозначаются различными типами линий – непрерывной, пунктирной, точечной и другими. Справа от графика указывается легенда – связь между типами линий и параметрами кривых, выводимых на график.

CDF (Cumulative Distribution

Function – функция распределения). Первые две формы представления распределений из этого меню являются наиболее употребительными. Последние три еще не использовались нами на практике.

Survivor Function (Функция выживаемости) равна единице минус функция распределения. Это хорошо видно при сравнении графиков обеих функций.

Log Survivor Function (Логарифм функции выживаемости). Имеется в виду натуральный логарифм этой функции.

Hazard Function (Функция риска). Функцией риска называется частное от деления плотности распределения на функцию выживаемости.

После нажатия кнопки ОК меню Graphical Options на правой половине экрана монитора выводятся графики всех заданных функций. Двойной щелчок левой кнопки мыши на любом графике или заставке разворачивает и сворачивает их на весь экран. Заполним теперь лист StatGallery и оформим отчет о проделанной лабораторной работе.

В любом месте открытого поля StatGallery щелкнем правой кнопкой мыши. Появится дополнительное меню (рис. 2.14). Это меню задает порядок и форму расположения текстовой и графической информации на листе отчета. Назначение процедур этого меню следующее:

1. Modify Arrangement (Задание классифи-

кации) вызывает подменю StatGallery Options, распределяющее рисунки и

55

текст различным образом в поле StatGallery (рис. 2.15). С его помощью информацию на листе отчета можно расположить девятью способами.

2. Print – распечатывает содержимое StatGallery.

3. Erase Graph – сти-

рает часть информации из поля отчета. Вызываемое подменю имеет строение, аналогичное предыдущему подменю.

4. Move Graph – пере-

мещает части отчета по полю StatGallery. При этом можно заменить предыдущую информацию новой (Replace), или затереть ее наложением (Overlay).

5. Clear Gallery – очищает поле StatGallery.

Вызовем пункт меню StatGallery Options и зададим расположение шести элементов отчета способом «по три». В отчет включим заставки Probability Distributions (Top Left), Cumulative Distributions (Center Left), Inverse CDF (Bottom Left) и графики трех функций Probability (Top Center), Cumulative Probability (Center) и Log Survivor Probability (Bottom Center). В результате получим лист отчета (рис. 2.16). К сожалению, более трех элементов в строку и столбец поля StatGallery поместить нельзя.

Воспользуемся, наконец, пунктом дополнительного меню заставки распределения вероятностей Save Results и сохраним полученные результаты. Появится дополнительное подменю следующего вида (рис. 2.17). В полях Save везде поставим галочки, а в полях Target Variables (Плановые переменные) наберем имена случайных выборок Geom1,…, Geom5.

После нажатия клавиш File→Save Data File As и набора имени Geom сгенерированные выборки будут помещены в базу данных пакета STATGRAPHICS.

В пакете реализовано уникальное средство для сохранения результатов работы и создания собственных статистических проектов. Все, что пользователь считает ценным в своем варианте анализа (методы, параметры статистических процедур, графика, табличные схемы и так далее) можно сохранить в виде нового файла StatFolio. Затем этот файл по мере надобности можно изменять и дополнять, используя многократно. Сохраним и мы результаты нашей работы, выбрав File→Save StatFolio As→Geometric.

56

Рис. 2.16. Некоторые табличные и графические характеристики геометрического распределения

Рис. 2.17. Меню пункта Save Results

Задание № 1. По номеру вашей фамилии в журнале преподавателя выбрать распределение в пункте Probability Distributions (если номер больше 22, выбирать номер минус 15), задать пять однотипных распределений, варьируя параметры выбранного распределения, вычислить и вывести на экран дисплея все пункты меню Tabular Options и Graphical Options. Объем выборок задать равным 50. Полученные результаты записать на лист отчета в StatGallery и сохранить в личном статистическом проекте под оригинальным именем (имя: LAB2№группыФИО).

В пакете MATHCAD статистические функции условно разделяются на четыре раздела: статистики совокупностей, распределения вероятностей, гистограммы и случайные числа. Пакет MATHCAD имеет более широкую область применения, статистические функции составляют лишь одну из его более чем двадцати глав. В связи с этим статистические процедуры не сопровождаются непосредственно связанной с ними графикой. Результаты каждой процедуры требуют поэтому индивидуального графического отображения.

Приведем перечень и дадим описание основным встроенным статистическим функциям пакета MATHCAD.

1. Статистики совокупностей. MATHCAD содержит всего шесть функций для вычисления статистических оценок случайных совокупностей.

mean(A) - возвращает среднее значение элементов массива A размерности m × n по формуле

median(A) - возвращает медиану. Медианой называется величина, больше и меньше которой в вариационном ряду расположено одинаковое число членов ряда. Если число элементов массива A четно, то медиана определяется как среднее арифметическое двух центральных элементов вариационного ряда;

56

var(A) - вычисляет дисперсию элементов массива A ; cvar(A,B) - возвращает ковариацию по формуле

stdev(A)= var(A) ;

наконец, функция corr(A, B) находит коэффициент корреляции для двух массивов A и B .

2. Распределение вероятностей и случайные числа. В пакете MATHCAD можно работать лишь с шестнадцатью статистическими распределениями: биномиальным, геометрическим, отрицательным биномиальным,

Пуассона, бета-распределением, распределением χ2 -квадрат, экспонен-

циальным, F -распределением, гамма–распределением, логистическим, логнормальным, нормальным, распределением Стьюдента, равномерным, распределениями Вейбулла и Коши.

Функции плотности вероятности, функции распределения, обращения функций распределения и функции, моделирующие случайные числа, имеют похожие названия, отличающиеся лишь первой буквой в имени. Эти функции и их параметры приведены в табл. 1.

Функции, вырабатывающие случайные числа, генерируют псевдослучайные последовательности (подробнее см. разд. 3). Эти последовательности зависят от некоторого целого числа, называемого стартовым значением. Для изменения стартового значения в пункте меню пакета MATHCAD Математика надо выбрать Генератор случайных чисел и ввести необходимое целое число.

3. Для вычисления частотного распределения и построения гистограмм в пакете MATHCAD имеется одна функция hist(int,A). Она возвращает вектор, представляющий частоты, с которыми величины, содержа-

щиеся в векторе A , попадают в интервалы, представляемые вектором int. Элементы массива int должны быть упорядочены по возрастанию. Возвращаемый результат – вектор, содержащий на один элемент меньше, чем int. Его элементы – частоты fi есть числа n(A) значений в массиве A ,

удовлетворяющих условию inti < n(A) < inti+1 .

В качестве примера в пакете MATHCAD рассмотрим моделирование распределения Коши. Это распределение имеет плотность вероятности

58

динное отклонение). Математического ожидания и моментов распределение не имеет.

Наберем в пакете MATHCAD следующую программу:

i := 0.1,0.2...1 qi*10 := qcauchy(i, μ, λ)

m := mean(x1) m = 2.506

med := median(x1) med = 2.654

D := var(x1)

D = 1.723

σ := stdev(x1) σ = 1.313

xmin := min(x1) xmax := max(x1) xmin = −0.643 xmax = 6.159

E := 0.477 2 σ

E = 0.885

R := xmax - xmin

59

Значение E , равное срединному отклонению, - это параметр рассеивания распределения Коши. В нашем случае он должен быть близок к заданному значению λ . Следует отметить, что функции mean и var по формуле

(2.7.1) и формуле,

аналогичной (2.7.2), формально находят числовые значения

смоделированной выборки, которые, однако, вовсе не являются математическим ожиданием и дисперсией распределения Коши.

Итак, на примере данного распределения выполнен примерно такой же объем работ и построены те же графики, которые в пакете STATGRAPHICS получаются автоматически заданием лишь соответствующего пункта меню.

Задание № 2. По номеру вашей фамилии в журнале преподавателя выбрать распределение из табл. 1 (если номер больше 16, выбирать номер минус 15), самостоятельно задать все необходимые параметры распределения; построить графики функции плотности вероятности, функции распределения, функции значений процентилей, смоделировать случайную выборку данного распределения длиной в 100 единиц, вычислить числовые характеристики выборки и построить ее гистограмму.

60