Таблицы F - распределения с квантилями для малых вероятноей очень редки, поэтому квантили Fтеор(1) . и Fтеор(2) . были вычислены в пакете

6.3.Ранговый однофакторный анализ

Впоследние годы очень сильно были развиты методы математической статистики, для которых не требуются никакие предположения о распределении, за исключением предположения о том, что это распределение непрерывно. Эти методы называются непараметрическими или свободными от распределения.

Если мы ничего не знаем о распределении наблюдений, то непосредственно использовать для проверки нулевой гипотезы количественные

значения наблюдений xij становится затруднительно. В этом случае про-

ще всего опираться в своих выводах только на отношение «больше - меньше» между наблюдениями, так как они не зависят от распределения наблюдений.

В этом случае вся полезная информация содержится в рангах. Получим из исходной выборки вариационный ряд, т.е. расположим выборочные значения в порядке возрастания. Каждой величине из этого ряда сопоставим ее ранг, равный порядковому номеру величины в общем вариационном ряду. Заметим, что если наблюдения однородны, т.е. вся выборка взята из одной и той же генеральной совокупности, то любое распределение рангов равновероятно, а общее число способов группировки рангов,

168

например, при двух подвыборках объемов n и m равно числу способов, которыми можно извлечь m предметов из N = n + m , т.е. Cnm+m .

Соответствующие критерии для проверки нулевой гипотезы называются ранговыми, они пригодны для любых непрерывных распределений наблюдений. Более того, они годятся и тогда, когда измерения xij сдела-

ны в порядковой шкале, например, являются тестовыми баллами или экспертными оценками.

Основные формулы рангового однофакторного анализа выведены в предположении, что среди чисел xij нет совпадений. При наличие совпа-

дений используются средние ранги, при этом теоретическая схема действует как приближенная, и надежность ее выводов снижается. Для учета совпадений вводятся специальные поправки.

Припишем каждому наблюдению xij в общем вариационном ряду его ранг rij . Тогда табл. 5 преобразуется в табл. 6.

Общая методика проверки статистических гипотез рекомендует сконструировать некоторую статистику, т.е. функцию от рангов rij , которая

легла бы в основу критерия проверки гипотезы. Основное требование к этой статистике следующее: ее распределение при гипотезе H0 должно

заметно отличаться от ее распределения при альтернативах. Например, часто в качестве статистики берут сумму рангов одной подвыборки. Рациональность такой процедуры состоит в том, что если одно распределение (одной подвыборки) смещено относительно другого, то это должно проявиться в том, что маленькие ранги должны в основном соответствовать одной подвыборке, а большие – другой, вследствие чего соответствующие суммы рангов должны быть маленькими или большими в зависимости от того, какая альтернатива имеет место.

169