распределений и для обработки данных применяются методы дисперсионного анализа. В других случаях предположение о нормальности не является правомерным, и тогда используют различные непараметрические методы анализа, из которых наиболее разработаны ранговые методы.

Введем некоторые общепринятые термины, позволяющие получить в сжатом виде описание структуры эксперимента. Основным является понятие фактора – это качество или свойство, в соответствии с которым классифицируются данные и которое должно оказывать влияние на конечный результат. Каждый фактор имеет несколько различных уровней. Уровень - конкретная реализация фактора - используется для описания рассматриваемого свойства, определяющего каждую категорию применяемой классификации.

Структура или схема эксперимента, обычно называемая планом эксперимента, описывается входящими в него факторами и способом комбинирования разных уровней различных факторов. Наконец, величину результата часто называют откликом.

Для сравнения влияния факторов на результат необходим определенный статистический материал. Обычно его получают следующим образом: каждый из k способов обработки применяется несколько раз (не обязательно одно и то же число раз) к исследуемому объекту, затем результаты регистрируются. Данные таких испытаний могут быть сведены в табл. 5.

6.2. Дисперсионный анализ

Для описания данных табл. 5 в большинстве случаев оказывается приемлемой аддитивная модель. Она предполагает, что значение отклика xij можно представить в виде суммы вклада (воздействия) фактора и не-

зависимой от вклада фактора случайной величины. Обычно модель однофакторного дисперсионного анализа записывается в виде

Здесь μ - математическое ожидание X в генеральной совокупности, Tj = μ j − μ - эффект влияния j -го уровня фактора, т.е. отклонение от общего среднего уровня при j -й обработке, μ j - матожидание X в j -й группе, εij - случайная ошибка наблюдений.

Обычно предполагается только непрерывность закона распределения величин εij и их независимость. Однако во многих случаях о распределе-

нии εij можно сказать больше, например, предполагают, что величины εij N(0, D), т.е. имеют нормальное распределение с нулевым средним и

общей дисперсией, которая неизвестна. Дополнительная информация о законе распределения случайных величин εij позволяет использовать бо-

лее сильные методы в модели однофакторного анализа как для проверки гипотез, так и для оценки параметров. Совокупность этих методов носит название однофакторного дисперсионного анализа.

Чаще всего дисперсионный анализ основан на следующих правдоподобных допущениях о случайных величинах εij .

1.Математическое ожидание каждой остаточной случайной величины равно нулю. Это означает, что вся изменчивость в математических ожиданиях охватывается параметрами. Это очень правдоподобное предположение, ибо влияние второго члена в модели (6.1.1) всегда много меньше первого.

2.Остаточные случайные величины взаимно независимы, Это допущение не столь очевидно, как первое. Смысл его состоит в том, что между различными наблюдениями не существует какой-либо связи, которую нельзя было бы объяснить с помощью членов, описывающих определяемые эффекты.

3.Все остаточные случайные величины имеют одинаковое среднеквадратическое отклонение. Это предположение об однородности дисперсий. Во многих случаях это допущение не выполняется, поэтому прежде чем проводить дисперсионный анализ какого-либо набора данных, важно рассмотреть возможные колебания D .

4.Каждая остаточная случайная величина распределена по нормальному закону. В общем случае справедливость этого допущения наименее вероятна, чем трех остальных. Значительная часть дисперсионного анализа может проводиться без принятия этого допущения, необходимого лишь для обоснования использования некоторых формально точных критериев для проверки значимости и формул оценивания.

Допущения, описанные выше, имеют форму:

160

1)M (εij )= 0;

2)εij взаимно независимы;

нулю, так как в эксперименте выбраны все возможные значения уровней. Обратимся теперь к табл. 5. Изменчивость или вариация наблюдаемых значений xij может быть вызвана изменчивостью уровней фактора и

изменчивостью значения случайных величин, описывающих неопределяемые эффекты.

Вычислим среднее значение для каждой группы и общее среднее всех наблюдений:

вое уравнение модели однофакторного дисперсионного анализа (6.2.1) можно упростить. Просуммируем формулу (6.2.1) по i в пределах от еди-

M (εij )= 0 по допущениям (6.2.2). Аналогично D(x j − x)= D .

Выведем теперь основное тождество дисперсионного анализа. Рассмотрим

Таким образом, общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего x разбивается на сумму квадратов отклонений выбороч-

Q2 = ∑k ∑n j (xij − x j )2 . j =1i =1

В формулу (6.2.5) входят три члена. Рассмотрим их подробнее. Член

k слагаемых, «свобода» изменения которых ограничена одним соотноше-

пень свободы.

По 3-му условию (6.2.2) все генеральные групповые дисперсии должны быть равными, т.е. D1 = D2 = ... = Dk = D . Найдем несмещенные

оценки D .

163

Тогда при каждом уровне фактора величина X будет иметь нормальное распределение с одним и тем же математическим ожиданием и одной и той же дисперсией, равной D , т.е. переход от одного уровня фактора к другому не вносит никаких изменений: имеется одна генеральная совокупность, и результаты наблюдений, приведенные в табл. 5 – это выборка объема n из этой генеральной совокупности. А так как наблюдения независимы и проведены в одинаковых условиях, то несмещенная оценка об-