- •VI. Основы алгебры логики
- •1. Основные понятия алгебры логики
- •2. Основные элементарные логические функции
- •3. Свойства элементарных логических функций, двойственные аксиомы и теоремы алгебры логики
- •4. Способы представления логических функций
- •4.1. Табличный способ представления логической функции.
- •4.2. Алгебраический (аналитический) способ представления логической функции.
- •4.2.1. Макстерм и минтерм.
- •4.2.2. Нормальные формы аналитического представления лф.
- •4.2.3. Аналитическое представление функции алгебры логики (фал) в виде дизъюнкции конечного числа минтермов.
- •4.2.4. Аналитическое представление фал в виде конъюнкции конечного числа макстермов.
4.2.4. Аналитическое представление фал в виде конъюнкции конечного числа макстермов.
Любая таблично заданная ФАЛ может быть представлена аналитически в виде конъюнкции конечного числа макстермов (дизъюнктивных термов – ЛФ, связывающих все переменные в прямой или инверсной форме знаком дизъюнкции) т. е. нормальной конъюнктивной формой (объединение макстермов, включающее макстермы различных рангов) и совершенной нормальной конъюнктивной формой (СНДФ — объединение макстермов только максимального ранга); на каждом из макстермов функция равна 0:
f(x1, x2,..., xn) = H1 H2 … Hn = Hi.
0
Для ранее рассмотренного примера, используя правила двойственности, СНКФ (конъюнкция макстермов максимального ранга) находится следующим образом: формируется произведение дизъюнкций (макстермов) всех аргументов с количеством сомножителей, равным числу наборов, на которых функция равна 0; в каждом макстерме над аргументом, равным 1 в данном наборе, ставится знак отрицания:
f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 +x3)&(x1 +x2 + x3)&(x1 + x2 +x3)&(x1 +x2 + x3) &(x1 +x2 +x3)
H1 H2 H5 H6 H7
Каждая ФАЛ, в общем случае, может иметь несколько НДФ или НКФ, но только одну СНДФ и одну СНКФ. Нормальные формы можно получить из совершенных после возможных упрощении выражений.
Пример 1. Записать в аналитической виде функцию, заданную таблицей истинности:
|
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1, x2, x3) |
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1, x2, x3) |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
CНДФ, записанная по единицам функции:
f(x1, x2, x3) = F1(0, 0, 0) + F2(0, 0, 1) + F3(0, 1, 1) + F4(1, 0, 0) + F5(1, 1, 0) =x1 x2 x3 +x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 +x1 x2 x3
Пример 2. Записать в аналитическом виде функцию, заданную таблицей истинности:
|
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1, x2, x3) |
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1, x2, x3) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
CНДФ, записанная по единицам функции:
f(x1, x2, x3) = F1(0, 0, 1) + F3(0, 1, 1) + F4(1, 0, 0) + F5(1, 0, 1) =x1 x2 x3 +x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
ФАЛ может быть представлена аналитически в виде конъюнкции конечного числа макстермов, на каждом из которых функция равна 0.
СНКФ, записанная по нулям функции:
f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3)&(x1 +x2 + x3)&(x1 +x2 + x3)&(x1 +x2 +x3)
H0 H2 H6 H7