конспект РиКМА

1)ω >> Ω ;

2)ω = Ω ;

3)Ω > ω ;

4)Ω = ω .

При равенстве частот вынужденных и собственных колебаний отклонение системы от положения равновесия стремится к бесконечности, т.е. наступает ре- зонанс, соответствующий разрушению вала. На практике явление резонанса длится мгновение, время разгона двигателя – минуты, т.е. резонанс перескочить можно.

За время резонанса система не достигает опасных величин амплитуд. Если частота вынужденных колебаний больше частоты собственных, амплитуда становится конечной определяемой величиной.

Если Ω >> ω , динамический эффект намного слабее статического и коэффициент динамичности при этом уменьшается. Это означает, что возмущающие силы высокой частоты не вызывают значительных колебаний упругой системы, которая как бы не успевает отозваться на возмущение возбуждающей силы.

Nдв − N сопр

Сточки зрения производства работа валов за резонансной областью наиболее устойчивая; Производительность увеличивается, но перескочить через резонанс трудно из-за отсутствия тормозных устройств.

Графическое изображение (5) представлено на рис. 22.10.

Рис. 22.10

Зона, когда Ω = (0,73 ÷1,23)ω соответствует резонансной нерабочей зоне вращения вала.

Дорезонансная зона I работы вала называется зоной жесткой работы вала неспособного к самоцентрированию.

Зарезонансная зона II. В ней за счет эксцентриситета вал способен самоцентрироваться, занимая положение устойчивого равновесия – зона гибкого вала.

Нерабочая зона III или зона разрушения.

22.4.Колебания с затуханием

1.Собственные затухающие колебания (рис. 22.11).

Рис. 22.11

Действует на систему: Fин = my''= G y'' g

Fупр = ky

Fтр = Py'– сила трения

Уравнение равновесия:

Линейное дифференциальное уравнение второго рода без правой части:

pg = 2 f G

Решение этого уравнения ищется в виде одного корня:

Колебания затухают т.к. импульс силы действует мгновенно и трение пре- пятствует движению.

Частота собственных колебаний с учетом коэффициента трения f :

В том случае, если вал вращается или совершает возвратно- поступательные движения в высоко вязкой среде, коэффициент трения велик, под корнем отрицательное число частота собственных колебаний мнимым числом.

Графическое изображение (11) на рис. 22.12.

Рис. 22.12

Такие колебания устойчивы, система занимает положение устойчивого равновесия, колебания называются апериодическими. Максимальное значение амплитуды колебаний будет при cosω1t = 1:

Графическое изображение (12) на рис. 22.13. y = λe− ft

Если взять отношения двух соседних амплитуд, отличающихся по величи- не, то получим постоянную величину

В справочниках для аппаратов ξ = 0,5 1,5 Для кранов, мостов, стержней ξ = 0,02 0,05

Зная ξ и время пуска двигателя можно определить отклонение y .

2.Вынужденные колебания с затуханием (рис. 22.14).

Рис. 22.14

Система находится в какой-то среде, на неё действует вынуждающая сила C cosωt . Этой силой может быть несбалансированный ротор. Действует сила инерции упругости.

Под действие вынуждающей силы система получает перемещение y , и в общем виде на систему действуют:

Fин = my' '; Fтр = Py';

(1) – линейное ДУ-II с правой частью. Чтоб его решить нужно освободить вторую производную:

λe− ft cos(ω1t + ϕ ) – характеризует колебания системы с частотой собственных колебаний.

Из него видно, что фазовый угол оказывает большое влияние на соотно-

шение Ω . В тоже время фазовый угол зависит от fтр . При небольших соотноше-

ω

tgϕ – это угол, определяющий направление между действующей силой и деформацией. Перемена знака при переходе через π означает, что одна из составляющих должна переменить знак. Действующая сила (центробежная) знака переменить не может, значит знак должна переменить сила, характеризующая деформацию ( Fупр ). Значит скорости достигли какой-то критической величины дефор-

маций максимальных значений. При дальнейшем увеличении скорости вал занимает устойчивое положение с уменьшением деформации. Это явление лежит в основе самоцентрирования.

22.5. Самоцентрирование

Для всех реальных систем валы являются наиболее нагруженными деталями. Служат для передачи крутящих моментов и воспринимают нагрузки от действия деталей, насаженных на них.

Втихоходных валах крутящие моменты малы, поэтому рассчитываются изгибающие моменты. В промышленности чаще всего быстроходные валы, поэтому расчет на прочность ведется по изгибающему и крутящему моменту.

Восновном все системы обладают эксцентриситетом. Он может быть в плохо сбалансированных валах, образуется при транспортировке и монтаже, поэтому в каждой отрасли промышленности задается допускаемая величина e в зависимости от частоты вращения вала:

n

Эксцентриситет является источником колебаний. Замечено, что при некотором n вал достигает максимальных деформаций, затем при дальнейшем увеличении n занимает положение устойчивого равновесия. Таки е скорости, соответствующие стабильному положению вала, называются критическими скоростямиКаждая. система может обладать 6-тью критическими скоростями.

22.6. Факторы, влияющие на критические скорости

При перемещении жидкости образуется воронка. Вал находится в различном нагруженном состоянии по длине. Следовательно, инерционные силы по длине вала различные. При их действии за один оборот вала поперечное сечение скручивается помимо деформации относительно центральной оси, будут деформации относительно собственной оси. Такое движение – прецессионное. Если направление движения вала и направление его вращения от-

носительно собственной оси совпадают – прямая прецессия. Если не совпадают – обратная прецессия.

Условия устойчивого равновесия лучше при обратной прецессией. Чтобы уменьшить действие инерционных сил, надо увеличить силу тре-

ния, устанавливаются демпфирующие устройства (ребра жесткости по сечению). Если вал горизонтальный, то происходит отклонение от вращения вала.

Происходит гераскопическое вращение. Гераскопический момент инерции учитывается, если он составляет 13-15% от крутящего момента. Величина его действия не значительна по сравнению с остальными. Его можно не учитывать, идет в коэффициент запаса прочности.

Для увеличения жесткости при креплении мешалок используются концевые подшипники или подпятники.

В этом случае частота собственных колебаний:

где p – вес всех вращающихся частей; pкр – критическая эйлерова сила;

ω – собственная частота колебаний для консольного вала.

π 2 EI pкр = L3

Если подпятника нет, вал работает на растяжении со знаком «+». Если установлен подпятник, вал работает на сжатие со знаком «–» (рис. 22.17).

Рис. 22.17

На вал длиной L с центром масс в точке W насажена мешалка с центром масс в точке S с эксцентриситетом e . e – геометрическая сумма всех отклонений, насаженных на вал деталей.

При вращении вала он отклоняется от положения равновесия на величину r ; центр масс вала W1 ; центр масс деталей мешалки S1 . В этом случае вал будет

под действием центробежной силы C = mΩ2r и силы упругости Fупр = kr .

Чтобы вернуть вал в положение равновесия, надо чтобы эти силы были равны. С учетом e деформация вала от C :

mΩ2 (r + e) = kr

При его решении относительно r , получим:

Из (7) видно, что максимальный прогиб вала будет, если знаменатель равен нулю, т.е. k − mΩ2 = 0 .

С учетом того, что ω 2 = kq получим:

G

Ω = k = ω

m

Т.о. максимально возможный прогиб вала будет при равенстве частот собственных и вынужденных колебаний – первая критическая скорость, соответствующая Ω = 0,73ω .

Величина отношения прогиба вала эксцентриситету называется относи-

тельным прогибом вала:

Графическое изображение (8) на рис. 22.18.

(8) соответствует общему уравнению, полученному для определения коэффициента динамичности с частотой вынужденных колебаний под действием вынужденной силы.

I – жесткий вал

II – гибкий вал

III – резонанс Относительный полный прогиб вала:

Полный прогиб вала характеризуется обычными уравнениями для затухающих колебаний под действие вынуждающей силы.

Из формулы видно: если Ω << 1 при увеличении частоты вынуждающих

ω

колебаний прогиб вала резко возрастает. А если Ω > 1 при увеличении частоты

ω

собственных колебаний дробь становится отрицательной. Это означает, что деформация начинается в противоположную сторону.

Рис. 22.18

Центр масс, насаженной на вал детали, перемещается за счет эксцентриситета относительно своей собственной оси не переходя за центральную ось вращения.

Вал занимает положение устойчивого равновесия при деформации r = e . Такое явление соответствует первой критической скорости.

Скорость, при которой сбалансированный вал ( r = e ) занимает положение устойчивого равновесия соответствует явлению, когда центробежные силы уравновешиваются силами упругости на любом прогибе.

Методов точного определения критических скоростей нет. Пользуются приближенными методами Релея и Данкерли.

Метод Релея

Основан на законах сохранения энергии.

Имеется система с двумя колеблющимися массами (рис. 22.19). Статический прогиб – y1 и y2 . Рассматривая колебания упругой системы на основе закона сохранения энергии: в любой момент времени энергия, накапливаемая системой за счет динамической деформации остается постоянной.

Рис. 22.19

Потенциальная энергия характеризуется работой внешних сил за счет изменения моментов инерции:

U = I1m1 + I 2m2

22

Кинетическая энергия зависит от величины возмущающей силы. Частота собственных колебаний:

i =1

По Релею колебания каждой системы рассматриваются отдельно (рис.

22.20).

Рис. 22.20

Релей рассматривал колебания на основе принципа независимости влияния отдельных масс на характер колебаний.

(1) и (2) при расчетах используется редко. Только в тех случаях, когда статический прогиб определяется точно (стержневые и балочные конструкции).

В химической промышленности в основном используется метод Крылова. Недостатком метода Релея и Данкерли является то, что в них не учтена масса, насаженных на вал частей (мешалок). В большинстве случаев эта масса соизмерима или больше массы самого вала, поэтому основное преимущество мето-

да Крылова – учитывание в расчетах массы мешалок. Общее уравнение Крылова:

α зависит от линейных размеров вала мешалки или центрифуги (по графикам) (рис. 22.21).