лесная биометрия

Решим полученную систему уравнений. Для этого разделим каждое из уравнений системы (33) на коэффициенты при параметре b0:

Подставляя вычисленное значение коэффициента b1 в первое уравне-

ние системы (34) и выразив из него коэффициент b0, получим

Таким образом, у нас получилась регрессионная модель зависи-

мости высоты от диаметра деревьев в сосновом древостое следующе-

Пользуясь полученным регрессионным уравнением прямой ли-

нии, определим теоретические высоты ~yi и сумму квадратов отклоне-

ний эмпирических высот от теоретических (табл. 19). Полученное

значение суммы квадратов отклонений 612,0 мы можем использовать для вычисления стандартной ошибки регрессионного уравнения пря-

мой:

На рис. 12 изображено полученное регрессионное уравнение

прямой линии.

Оценка коэффициентов параболы второго порядка

Оценку коэффициентов параболы второго порядка методом

наименьших квадратов дает решение системы нормальных уравнений:

51

Найдем решение системы нормальных уравнений (42). Сначала разделим все уравнения системы на коэффициенты при параметре b0:

Теперь вычтем первое уравнение системы (43) из второго, а второе – из третьего. В результате получим систему из двух уравнений:

Теперь вновь разделим уравнения системы (44) на коэффициент, на этот раз при параметре b1:

откуда нетрудно выразить параметр b2:

Подставив полученное значение параметра b2 в первое уравнение системы (45), выразим из него и вычислим величину параметра b1:

b1 = 0,194 −b2 69,467 = 0,194 −(−0,0106 69,467) = 0,9304 . (48)

Теперь, воспользовавшись первым уравнением из системы (43), а также значениями параметров b1 и b2, вычислим величину b0:

b0 = 24,682 −b1 31,604 −b2 1053,986 = 24,682 −0,9304 31,604 −

В результате выполненных вычислений мы получили регрессионное уравнение параболы второго порядка, описывающее зависи-

С помощью полученного уравнения регрессии определим тео-

ретические высоты ~ и сумму квадратов отклонений эмпирических yi

высот от теоретических (табл. 20). Используя сумму квадратов отклонений 472,7, мы можем вычислить стандартную ошибку регрессионного уравнения параболы второго порядка:

На рис. 13 изображено полученное регрессионное уравнение параболы второго порядка.

Регрессионный анализ зависимости высот и диаметров в чистом сосновом древостое с помощью ПЭВМ

Анализ зависимости между случайными величинами с помощью линейного регрессионного анализа в пакете Statistica 6.0 можно выполнить следующим образом.

1.Запустить программу Statistica и открыть файл с данными, как описано в подразделе 0.

2.Выбрав опцию «Множественная регрессия» из меню «Статистика», открыть диалоговое окно «Multiple Linear Regression» (рис. 14).

3.В открывшемся диалоговом окне нажать кнопку «Variables». После этого на экране появится еще одно диалоговое окно «Select dependent and independent variable lists» (рис. 15), содержащее два спи-

ска переменных. Из левого списка следует выбрать зависимую переменную (переменную, которая в уравнении стоит слева от знака равенства). В правом списке надо отметить независимые переменные, для которых желательно построить регрессионное уравнение (переменные, которые будут справа от знака равенства). Выбрать сразу несколько переменных можно мышью, держа нажатой клавишу «Ctrl» на клавиатуре. Кроме того, номера независимых переменных можно перечислить в строке, расположенной под списком переменных с помощью клавиатуры, отделяя номера друг от друга пробелом или указывая первый и последний номер переменной через тире, если номера идут подряд. Далее надо нажать кнопку «OK» для возврата в окно «Multiple Linear Regression».

55

4. Для того чтобы выполнить вычисления в окне «Multiple Linear Regression», надо нажать кнопку «OK», в результате чего откро-

ется диалоговое окно «Multiple Regression Results» (рис. 16). В данном окне приведены значения некоторых статистик, характеризующих полученное уравнение. Это коэффициент корреляции R; коэффициент детерминации R2; преобразованный коэффициент детерминации adjusted R2; стандартная ошибка – std. error и критерий Фишера F.

Рис. 15. Окно выбора переменных для регрессионного анализа

5. Чтобы увидеть вычисленные коэффициенты регрессии и статистики, характеризующие их, следует нажать кнопку «Summary: Regression results» на вкладке «Quick» в окне результатов регрессионного анализа. На экране появится таблица, содержащая в первой колонке имена независимых переменных (Intercept – свободный член) (рис. 17).

Колонка, озаглавленная как «Beta», содержит регрессионные коэффициенты, вычисленные с учетом предварительной нормировки переменных, а колонка «Std.Err. of Beta» – их стандартные ошибки.

Колонка «B» содержит коэффициенты регрессии, а колонка «Std. Err. of B» – их стандартные ошибки.

В колонке «t» приведены t-критерии Стьюдента, вычисленные для проверки параметрической гипотезы о равенстве коэффициента регрессии нулю. Если t-статистика превышает табличное значение для выбранного уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы (указано в скобках в заголовке колонки после символа t), гипотеза отвергается.

Колонка «p-level» содержит вероятность того, что гипотеза о равенстве коэффициента регрессии нулю верна.

57

Рис. 16. Окно результатов регрессионного анализа

В качестве примера проанализируем связь между высотами и диаметрами в чистом одновозрастном древостое. С этой целью вы-

Рис. 17. Таблица с параметрами регрессионного уравнения

58

Для выполнения таких расчетов необходимо в файле исходных данных создать четыре новые переменные. Для этого надо активизировать опцию «Добавить переменные …» из меню «Вставка». В открывшемся диалоговом окне «Add Variables» в поле «How many» внести число переменных, которые следует добавить, и нажать кнопку «OK». Далее нужно дать название добавленным переменным и вычислить их значения. Это можно сделать следующим способом. Щелчок правой кнопкой мыши на заголовке переменной открывает контекстное меню, из которого следует выбрать опцию «Variable Specs …», которая откроет диалоговое окно свойств переменных (рис. 18). В этом окне следует изменить имя в поле «Name», а в текстовое поле, расположенное в нижней части диалогового окна, надо ввести формулу для вычисления значений переменной. Если в формуле необходимо использовать стандартные функции, целесообразно воспользоваться кнопкой «Functions», которая открывает список доступных функций. Кроме того, с помощью данного диалогового окна можно изменить и другие свойства переменной. После нажатия кнопки «OK» все изменения будут выполнены, а если вводилась формула, то будут вычис-

лены и значения переменной. Таким образом, надо создать перемен-

ные d2, d3, 1/d ln(d).

После этого можно выполнить расчеты для уравнений вида (53)–(57). Полученные результаты удобно свести в табл. 21.

В данной таблице обращают на себя внимание два уравнения – парабола третьего порядка и гипербола. У параболы третьего порядка самые большие коэффициент корреляции и коэффициенты детерминации из всех рассчитанных уравнений, а стандартная ошибка оценки самая малая. В том случае, если регрессионная модель нужна исключительно для оценки высот деревьев по их диаметрам, то порабола третьего порядка будет самым предпочтительным уравнением из тех, для которых мы выполнили вычисления.

Для гиперболы характерен самый большой критерий Фишера и достаточно большие значения коэффициента корреляции и коэффициентов детерминации, а также не слишком высокая стандартная ошибка оценки. Самый большой критерий Фишера говорит нам о том, что по соотношению точность – сложность гипербола является самым удачным уравнением, т. е. оно с довольно высокой точностью описывает зависимость высот от диаметров, являясь значительно более простым уравнением, чем парабола третьего порядка (в гиперболе используется только одна независимая

59