Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Марченко_Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

431

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Найти точки разрыва, определить их тип и сделать схематический чертеж следующих функций:

	10 − x, если x < 2,
15.								если x = 2,
15.	f (x) = 3,							если x = 2,
		3	,					если x > 2.
	x		,					если x > 2.
		2			− 4, если x < −3,
	x				− 4, если x < −3,
17.	f (x) = 5,							если x = −3,
		− x,						если x > −3.
	2	− x,						если x > −3.
	−1,							если x <1,
19.		− 2,						если x =1,
19.	f (x) = x	− 2,						если x =1,
				2		,		если x >1.
	3x					,		если x >1.
	x + 4						,	если x < 4,

			x
21.								если x = 4,
21.	f (x) = −1							если x = 4,
		x,						если x > 4.
		x,						если x > 4.


	ex ,							если x ≤ 0,
23.		− x,						если 0 < x ≤1,
23.	f (x) = 1	− x,						если 0 < x ≤1,
		1


	x −1, если x >1.
	−1,							если x < 0,
25.
25.	f (x) = cos x, если 0 ≤ x ≤ π,
		− x,						если x > π.
	1	− x,						если x > π.

			2	,	если x <1,
	x
16.	f (x) = 3,				если x =1,
					если x >1.
	x,
			2	− 2, если x < −3,
	x
18.	f (x) = 7,					если x = −3,
			− x,			если x > −3.
	4
	x − 2,					если x <1,
20.						если x =1,
	f (x) = −1,
				2	,	если x >1.
	3x
		1 − x, если x ≤0,
22.						если 0 < x ≤ 2,
	f (x) = 0,
	x −3, если x > 2.

	2,					если x < −1,
24.			− x,			если −1 ≤ x ≤1,
	f (x) = 1
						если x >1.
	ln x,
	3,					еслиx <−1,
26.		− x,				если −1≤ x ≤1,
	f (x) = 2
		+ln x, еслиx >1.
	3

Минимум для аудиторной работы

Исследовать на непрерывность в указанных точках следующие функции: 1; 7; 9; 12.

Найти точки разрыва, определить их тип и сделать схематический чертеж следующих функций: 15; 17; 19; 21.

1.3.4.Ответы

1.x1 = −1 – точка бесконечного разрыва; x2 =3 – точка непрерывности функции. 2. x1 = 2 – точка бесконечного разрыва; x2 =3 – точка непрерывности функции. 3. x1 = −3 – точка непрерывности функции; x2 = 2 – точка бесконечного разрыва. 4. x1 = 0 – точка

непрерывности функции; x2 =1 – точка бесконечного разрыва. 5. x1 = 2 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка бесконечного разрыва. 6. x1 = 5 – точка непрерывности функции; x2 = 4 – точка бесконечного разрыва. 7. x1 = 0 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка устранимого разрыва. 8. x1 = 0 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка конечного разрыва. 9. x1 = 0 – точка непрерывности функции; x2 = −1 – точка бесконечного разрыва. 10. x1 = 0 – точка бесконечного разрыва; x2 = −1 – точка непрерывности функции. 11. x1 = 2 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка конечного разрыва. 12. x1 = −1 – точка устранимого разрыва; x2 =1 – точка непрерывности функции. 13. x1 = −2 – точка непрерывности функции; x2 = 2 – точка устранимого разрыва. 14. x1 =1 – точка устранимого разрыва; x2 = 2 – точка непрерывно-

сти функции. 15. x = 2 – точка устранимого разрыва. 16. x =1 – точка устранимого разрыва. 17. Функция не имеет точек разрыва. 18. Функция не имеет точек разрыва. 19. x =1 – точка конечного разрыва. 20. x =1 – точка конечного разрыва. 21. x1 = 0 – точка

бесконечного разрыва; x2 = 4 – точка устранимого разрыва. 22. x1 = 0 – точка конечного разрыва; x2 = 2 – точка конечного разрыва. 23. x1 = 0 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка

бесконечного разрыва. 24. Функция не имеет точек разрыва. 25. x1 = 0 – точка конечного разрыва; x2 = π – точка конечного

разрыва. 26. x1 = −1 – точка непрерывности функции; x2 =1 – точка конечного разрыва.

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ÈТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

2.1.1.Теоретический минимум

1.Определение производной. Дифференцируемость функции.

2.Техника дифференцирования.

3.Производные функций, заданных параметрически.

4.Производные функций, заданных неявно.

5.Логарифмическое дифференцирование.

6.Геометрический и физический смысл производной.

7.Дифференциал функции.

8.Теоремы о дифференцируемых функциях.

9.Правило Лопиталя.

Определение производной. Дифференцируемость функции

Пусть		функция y = f (x) определена на некотором интерва-
ле (a;	b).	Выберем точку x0 (a; b). Выберем другую точку
x = x0 +	x (a; b). Величина x = x − x0 называется прираще-

нием аргумента. Найдем соответствующее приращение функции

y= f (x0 + x) – f (x0 ) = f (x) − f (x0 ).

Производной функции y = f (x) вточке x0 называется предел от-

ношения приращения функции y = f (x0 +

x) – f (x0 ) к приращению

аргумента x при

x → 0, если этот предел существует и конечен:

f ′(x0 )= lim

= lim

(x0 + x)− f (x0 )

= lim

(x)− f

(x0 )

x − x0

x→0

x→x0

Производная

f ′(x ) существует, если существуют и равны

f ′(x )

= f ′(x

конечные односторонние производные в точке x0:

f (x)− f (x0 )

−

где f+′(x0 )=

lim

– правосторонняя

производная,

x − x

x→x0

f−′(x0 )= lim

f (x)− f (x0 )

0– левосторонняя производная.

x − x0

x→x0 −0

	Если для некоторого значения x0 выполняется одно из условий:
lim	y = +∞ или lim		y = −∞, то в точке x0 существует бесконеч-
x→0	x	x→0	x
ная производная, равная соответственно +∞, –∞.
	Для обозначения производной функции y = f (x) используют
символы: y′,		f ′(x), y′x , dy ,		df (x)	.

			dx	dx

Схема нахождения производной представлена в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Схема нахождения производной функции по определению

Этапы

Пример для функции f (x) = 2x − 7x2

1. Придать фиксированному зна-

(x0 +

x) = 2(x0 +

x)− 7 (x0 + x)2

чению x0 D (x) приращение x

вычислить

значение

функции

(x0 +

2. Найти

приращение

функции

y = 2(x0 +

x)− 7 (x0 +

x)2 −

y = f (x0 + x) – f (x0 )

−

(2x0 − 7x02 )= 2x0 + 2 x−7x02 −14x0 x −

−7 ( x)2 −2x0 +7x02 = 2 x −14x0 x − 7 ( x)2

3. Составить отношение

y = 2

x −14x0 x − 7 (

x)2

x (2 −14x0 − 7 x)

= 2

−14x − 7 x

4. Найти lim

= y′

y′ = lim

(

2 −

14x − 7

)

= 2

−14x

x→0

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке, а операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция, имеющая конечную производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Связь дифференцируемости и непрерывности функции

Если функция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в ней.

Обратное утверждение неверно, т. е. если функция непрерывна в точке, то она может быть не дифференцируемой в этой точке.

Например, функция

y =

x ≥ 0,

−x, x < 0

непрерывна, но не дифференцируема в точке x = 0.

В точке x = 0 имеем:

y =

f (0 +

x)− f (0)

f ( x)

Односторонние пределы не равны меж-

ду собой, т. к. при

x → 0

lim

y = −

x = −1,

lim

=1.

x→−0 x

x→+0

( x<0)

( x>0)

Следовательно, производная в точке x = 0 не существует.

Техника дифференцирования

Основные правила дифференцирования

Пусть u =u (x) и v =v(x) – дифференцируемые функции независимой переменной x; c = const. Тогда:

1. (c)′ = 0; (x)′ =1.

2. (u ± v)′ = u′± v′.

′

3. (u v)

′

; (cu)

′

u v −uv

= v

(

)

≠ 0

, где

= u v +uv

= cu

Производная сложной функции

y = y(u(x)), где y = y(u),

Рассмотрим сложную функцию вида

u =u (x).

Если функция u =u (x) дифференцируема в точке x0 и функция

y =y(u) дифференцируема в точке u0 =u(x0 ), то функция y=y(u(x))

дифференцируема в точке x0 и

y′x (x0 )= yu′ (u0 ) u′x (x0 )

или символически y′x = yu′

u′x .

Производная обратной функции

Пусть функция y = y(x)

непрерывна, строго монотонна на ин-

тервале (a; b) и в точке x0 (a; b) имеет конечную и неравную ну-

лю производную. Тогда для обратной функции x =x(y)

в соответ-

ствующей точке y0

= y(x0 ) также существует производная, равная

x′y

y′x

Таблица производных

α ′

α−1

′

)

= αu

u , α = const,

u = u(x).

2. (

u )

u .

′

u ′

= −

u′.

4. (a

)

= a

(ln a)u′.

6. (loga u)′ =

u′.

(eu )′ = euu′.

u ln a

′

8. (sin u)′ = cosu u′.

(ln u)

= u u′.

10. (cosu)′

= −sin u u′.

′

(arcsin u)

′

12. (tgu)′ =

u′.

1 −u2

′

cos

′

11. (arccosu) = −

1 −u2

14. (ctgu)

= −

u′.

sin2 u

′

13. (arctgu)

u′.

15. (arcctgu) = −

u′.

1+u2

Производные высших порядков

y = f (x)

Производной второго порядка функции

называется

производная от производной f ′(x) (обозначается

f ′′(x)

, d 2 y ):

dx2

f ′′(x)=(f ′(x))′.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка:

f (n) (x)= (f (n−1) (x))′, n =1, 2, ...; f (0) = f (x).

Пример 1. Найти производные первого порядка функций:

1)	y =	4	+ 5	7x − 2;	2)	y = cos2 x sin x ;

		x2
3)	y = arctg x			;	4)	y = sin (ln 5x).
		1 + x2

Решение.

1) применим формулу производной суммы:

′

−

y′ =

+ 5

7 x − 2

+ (5 7 x ) − (2)

4(x

2 )

+ 5

− 0 =

−4

= 4 (−2)x−3 + 5 7

1 x 5

= −

1 5

;

5 5

5 x4

2) применим формулу производной произведения, затем формулы (1), (8), (10) таблицы производных:

′

= (cos

′

x, v

= sin x,

′

x sin x) =

u = cos

(uv)

= u v

+ uv

= (cos

′

= (u

′

sin x + cos

′

x (sin x)

= (cos

) = 2u u , u = cos x

= 2cos x (cos x)′ sin x + cos2 x cos x = 2 cos x (−sin x) sin x + cos3 x =

=−2 cos xsin 2 x + cos3 x = cos3 x − 2 cos xsin2 x;

3)применим формулу производной частного и формулы (1), (13) таблицы производных:

			′
arctg x				= u = arctg x,
y′ =	1 + x	2		= u = arctg x,
	1 + x

= (arctg x)′ (1 + x2 )− arctg x

(1 + x2 )2

′

v =1 + x

u v − uv

(1 + x2 )′

(1 + x2 )− arctg x (0 + 2x)

1 + x2

(

+ x2

)

= 1 − 2x arctg x

(1 + x2 )2 ;

4) используем формулы (7), (8) таблицы производных:

y′ = (sin (ln 5x))′ = (sin u )′ = cos u u′, u = ln 5x = cos (ln 5x)(ln 5x)′ =

′

cos(ln 5x)

(ln u)

u , u = 5x

= cos(ln5x)

(5x) = cos(ln 5x)

Пример 2. Найти производные указанного порядка:

y = xex , y′′′(x);

y = ln (cos x), y′′(x).

Решение.

1) y′ = (xex )′ = (x)′ex + x (ex )′ = ex + xex = ex (x +1),

y′′ = (ex (x +1))′ = (ex )′(x +1)+ ex (x +1)′ = ex (x +1)+ ex = ex (x + 2), y′′′ = (ex (x + 2))′ = ex (x + 2)+ ex = ex (x + 3);

′

−sin x

2) y′ = (ln (cos x))

(cos x)

= −tg x,

cos x

′

′′

= (−tg x)

= − cos2 x .

Производные функций, заданных параметрически

Если функция задана параметрически: x = x(t ),

то производ-

ные y′x , y′′xx

вычисляются по формулам

y = y (t ),

y′

(y′x )′

y′x =

; y′′xx =

′ t .

′

Пример. Найти производные y′x

и y′xx′

функции x = a cos3 t ,

y = asin3 t.

Решение. Найдем xt′ =(acos3 t)′ =3acos2 t (cost)′ = −3acos2 t sin t.

′

3asin2 t cost

sin t

yt′ =(asin3 t) =3asin2 t cost. Тогда

y′x

= −

= −tgt.

−3acos

t sin t

cost

(y′ )′ =(−tgt)′ =

−1

−

, y′′xx =

cos

−3a cos2 t sin t

3a cos4 t sin t

cos2 t

Производные функций, заданных неявно

Схемы нахождения производных функций, заданных неявно, представлены в табл. 2.2 и 2.3.

						Таблица 2.2
	′		неявной функции F (x; y) = 0
Схема нахождения производной yx			неявной функции F (x; y) = 0
Этапы	Пример для функции х4 y2					−5x + 3y3 = 7
1. Продифференцировать обе час-	(х4 y2 )′ −5(x)′x +3(y3 )′ =					(7)′;
ти равенства F (x; y) = 0 по пере-	(x4 )′		x		x
менной x, считая, что y = y (x)	(x4 )′		y2 + x4 (y2 )′ −5 +3 3y2 y′x = 0;
					x
	4x3 y2 + x4 2 yyx′ −5 + 9 y2 yx′ = 0
2. Из получившегося в результате	4x3 y	2 + 2x4 yy′		−5 +9 y2 y′ = 0;
дифференцирования равенства вы-			x		x
дифференцирования равенства вы-	y′x (2x4 y +9 y2 )= 5 −4x3 y2 ;
разить yx′ через x и y			5 − 4x3 y2
	yx′ =		5 − 4x3 y2
	yx′ =		2x4 y +9 y	2
			2x4 y +9 y	2

Таблица 2.3

′′

Схема нахождения производной yxx неявной функции F (x; y) = 0

Этапы

Пример для функции 4x2 − y2

= 4

1. Найти yx′

8x −2 yy′x = 0;

y′x

= 4

2 y

2. Найти

y′′ = (y′ )

′ , считая,

y′′

= 4

y − xy′

что y = y (x)

3. В полученное

выражение

подставить

уже

найденное

y − x

y −

значение

′, тем самым вы-

y′′

= 4

′′

разив yxx

через y и x

y2 − 4x2

= 4

= y

− 4x

= −4 = −

3 .

Воспользовались условием задачи

Логарифмическое дифференцирование

При

дифференцировании

степенно-показательных

функций

y = u (x)

v(x)

, а также функций вида

y =

ϕ1

(x)ϕ2

(x) ... ϕn (x)

и в не-

(x)ψ

(x)

... ψ

(x)

которых других случаях часто бывает эффективным метод логарифмического дифференцирования. Суть метода заключается в том, что функцию сначала логарифмируют, а затем дифференцируют. Схема логарифмического дифференцирования дана в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Схема логарифмического дифференцирования

Схема логарифмического

Пример для функции

дифференцирования

y = (sin x)

cos x

для функции y = u (x)v(x)

1. Логарифмируем функцию:

ln y = ln (sin x)cos x = cos x ln (sin x)

ln y = ln u (x)v(x) = v (x)ln u (x)

2. Дифференцируем:

u′(x)

(ln y)′ = −sin x ln (sin x)+ cos

;

′

(ln y)

= v′(x)ln u (x)+v (x)

;

sin x

u (x)

y′

cos2 x

y′

u′(x)

= −sin x ln (sin x)+ sin x

′

y = v

(x)ln u (x)+ v (x) u (x)

Окончание табл. 2.4

Схема логарифмического

Пример для функции

дифференцирования

y = (sin x)

cos x

для функции y = u (x)v(x)

3. Выражаем

y′

из полученного соот-

y′ =

cos2 x

ношения:

−sin x ln (sin x)+

sin x

u′(x)

v(x)

×(sin x)

cos x

y′ = u (x)

v′(x)ln u (x)

+v (x)

(x)

Пример. Найти производную для функции y =

х4 5

6 − х3

3 5

(х+ 7)

Решение.

1. Логарифмируем функцию:

− х

= ln (x

)+ ln (

)− ln (

5 )−ln x + 7 =

ln y = ln

6 − x

5 (х+ 7)

= 4ln x + 15 ln (6 − x3 )− 16 ln 5 − 12 ln (x + 7).

y′

−3x2

2. Дифференцируем:

= x +

−

(

6 − x3 )

(x + 7)

′

−3x

4 5

6 − х

′

5(6 − x3 )−

3 5 (х+ 7).

3. Выражаем y : y

2(x +

Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Значение производной в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x)

в точке M (x0 ; f (x0 )): f ′(x0 )= k = tg α.

y{	y
f (x0)	M
	α
	x0 x0+ x x

Уравнениекасательнойкграфикуфункции y = f (x) вточкеx0 y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.03.2015171 Кб55Высшая математика.docx
#
26.03.201520 Мб13высшая математика2002_copy.pdf
#
26.03.201518 Кб21Вышка. Вопросы к экзамену(3 семестр).docx
#
26.03.2015116 Кб21Вышка.doc
#
26.03.2015409 Кб18вышка.pdf
#
26.03.20155 Мб431Марченко_Высшая математика.pdf
#
26.03.2015573 Кб55ШПОРЫ ВЫШКА.docx
#
26.03.2015350 Кб88Шпоры по вышке 1.doc