Марченко_Высшая математика

Вчастности, произведение бесконечно больших функций есть ббф.

3.Суммабесконечнобольшойиограниченнойфункцийестьббф.

4.Сумма двух ббф одинакового знака есть ббф.

Следует отметить, что разность двух ббф одинакового знака не обязательно бесконечно большая функция.

Пример. Рассмотрим ббф при x → ∞: α(x)= x2 , β(x)= x2 + x,

γ(x)= x2 + 3, μ(x)= x2 + 1x , ν(x)= x3.

Тогда при x → ∞ разность β(x)− α(x)= x есть ббф при x → ∞;

разностьμ(x)−α(x)= 1x естьбмфпри x →∞; разность γ(x)−α(x)=3

есть постоянная функция.

Частное αν((xx)) = x есть ббф при x → ∞; частное αν((xx)) = 1x есть

бмф при x → ∞; частное αγ((xx)) =1 + x32 есть функция, имеющая конечный предел при x → ∞.

Основные теоремы о пределах

Предположим, что существуют конечные пределы функций f (x) и g (x) при x → a. Тогда имеют место следующие основные

свойства конечных пределов:

31

1. Основная теорема о (конечном) пределе: для того чтобы при x → a существовал (конечный) предел функции y = f (x), не-

обходимо и достаточно, чтобы в некоторой (достаточно малой)

2. Теорема о связи с односторонними пределами: для существования конечного предела b функции y = f (x) при x → a необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны оба односторонние пределы f (a −0) и f (a + 0):

lim f (x)= b f (a −0)= f (a + 0)= b.

x→a

3. Арифметические операции над пределами:

32

5. Предельный переход в неравенствах: если в некоторой окрест-

Замечательные пределы

При раскрытии неопределенностей вида 0 с выражениями, со-

0

держащимитригонометрическиефункции, частоиспользуетсяпредел

lim sin x =1,

x→0 x

называемый первым замечательным пределом.

Пример. Вычислить пределы:

33

При раскрытии неопределенности вида 1∞ часто используется предел вида

называемый вторым замечательным пределом, число е – предел

Число е играет важную роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием е (y = ex ) называется экспонентой. Логарифм по основанию е называется натуральным (или неперовым) логарифмом и обозначается ln x. Таким образом,

ln x = loge x.

Из второго замечательного предела можно получить пределы, которые широко применяются для раскрытия неопределенностей:

34

в скобках добавили и вычли единицу, вычислили разность и разде-

лили на четыре, затем показатель умножили и разделили на x 4−1.

Другими словами, свели ко второму замечательному пределу, по-

При нахождении предела в примере 2), выполнив необходимые преобразования, мы свели его к одному из пределов, вытекающих из второго замечательного предела.

Вычисление пределов

Отметим некоторые общие методы вычисления пределов.

1. Использование основных теорем о пределах. Поскольку для основных элементарных функций во всех точках их области определения (для элементарных функций во всех точках из интервала их области определения) имеет место свойство

lim f (x)= f (a),

x→a

то при вычислении пределов, прежде всего, вместо х подставляем предельное значение (обычно это записывается в квадратных скобках) и, если значение f (a) определено, применяем основные теоремы о пределах.

Пример. Вычислить пределы:

= 30 (cos 0 + 2 0) =1 1 =1.

35

Однако часто при подстановке в f (x) вместо x предельного

[∞ − ∞] и другие, которые называются неопределенностями и ко-

торые нужно «раскрывать» специальными методами, например учитывая характер стремления к пределу отдельных функций, составляющих (входящих) функцию f (x) (см. ниже: раскрытие не-

которых видов неопределенностей).

2. При вычислении пределов иногда удобно воспользоваться односторонними пределами (свойство 2).

Пример. Вычислить lim f (x), если

x→ x0

не существует.

36

3. Пределы можно также вычислять по определению предела, например с использованием языка «ε − δ»-окрестностей, однако это, как правило, требует более основательной математической техники.

4.Использование эквивалентных бесконечно малых функций

впроизведениях и частном. При нахождении пределов бесконечно малые множители, стоящие в числителе и знаменателе, удобно заменять им эквивалентными: