Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

Электротехника

Файл:

Мороз_Электротехника

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

20.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 256 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

				51
где	- электрическая проницаемость диэлектрика; 0 - электрическая
постоянная вакуума;		0	=8,8510 12	ф/м;
		0

S - сечение пластин, м2

d - расстояние между пластинами, м. Размерность (С)=(q/U)=Ф(фарада)

Пусть к зажимам цепи, содержащей емкость С (рис.4.23), подведено синусоидальное напряжение. Нанесем на схеме принятые положительные направления тока и напряжений.

Используя (4.27) и (4.28), найдем ток в цепи:

i=dq/dt=d(CU)/dt=d/CU m sin

t/dt= C

Ucm c o s t =

C Ucm s i n ( t +

) = =

= I m s i n (

t +

)

( 4 . 2 9 )

900

где I m

U cm

(4.30)

(4.31)

называется сопротивлением емкости в цепях переменного тока.

Сопротивление

емкости обратно

пропорционально

частоте тока

( c 2 fc ) и

величине емкости. Размерность емкостного сопротивления - Ом.

Как видно из (4.29), ток в цепи с емкостью изменяется также по синусоиде, опережая напряжение на угол 90°.

На рис.4.24 приведена векторная диаграмма для действующих значений напряжения Uc на ѐмкости и тока I.

Рис. 4.24.

4.10. Синусоидальный ток в цепи с активным сопротивлением R , индуктивностью L и емкостью C.

	До сих пор мы рассматривали электрические цепи синусоидального тока
при	наличии	отдельно	индуктивности		и	емкости.	Теперь
рассмотрим самый		общий	случай,	когда электрическая цепь			включает
все виды сопротивлений: активное r ,				индуктивное	X L	и емкостное Хс . Пусть

все сопротивления включены последовательно и в цепи проходит синусоидальный ток (рис.4.25) :

i Im sin( t i )

Рис. 4 . 2 5 .

Определим напряжения на зажимах цепи и на отдельных участках цепи, полное сопротивление цепи, мощность и другие величины . На схеме показаны принятые положительные направления напряжений на элементах Ur ,U L ,Uc и

применяя второй закон Кирхгофа, можно написать:

U Ur UL Uc 0

(4.32)

Так как ток в цепи синусоидальный и все напряжения на элементах цепи также будут синусоидальными, то уравнение (4.32) можно записать в векторной форме:


U		U r U l U c		(4.33)
Где U r rI ; U L X L I LI ; U c X c I	1		I .	(4.34)
Где U r rI ; U L X L I LI ; U c X c I		c	I .	(4.34)
		c

. 2 6

Расчет такой цепи начнем с построения векторной диаграммы при i 0 (рис.4.26) для действующий значений. Сначала откладываем вектор тока I,

мгновенное значение которого i I		sin( t			) , i	0
мгновенное значение которого i I	m	sin( t		i	) , i
	m			i
I		I m

			2 . По направлению тока в масштабе нап-
Действующее значение			2 . По направлению тока в масштабе нап-
ряжений откладываем падение напряжения на сопротивлении							r, U r . Затем

согласно (4.33) в сторону опережения на угол 2 , откладываем напряжение


U L X L I	и с конца вектора U l откладываем в сторону отставания на 90° от тока
I вектор		Uc	X c I .
Если		X L	X c	, то получается треугольник напряжений, показанный на
Если				, то получается треугольник напряжений, показанный на
рис.4.26.	Вертикальный катет треугольника напряжений по величине равен

разности U L U c . Замыкающий вектор на диаграмме является напряжением, приложенным на зажимах цепи. По аналогии с другими нап ряжениями на участках его можно представить в виде произведения тока I на общее (полное) сопротивление цепи z (рис.4.25):

Между вектором тока

и вектором напряжения

U , являющегося

гипотенузой треугольника напряжений, имеется угол

,который может быть

определен по одному из соотношений:

U L

U c

cos

U L UC

U ,

sin

(4.35)

На

векторной диаграмме

(рис.4.26)

U L

в цепи

C ,следовательно

преобладает

индуктивное сопротивление

X L X C и

ток

I отстает по

фазе от

приложенного к цепи напряжения U на угол .

Из треугольника напряжений (рис.4.26) получаем действительное значение

напряжения

U 2

Ur2

(U L

UC )2

r 2 I 2

(X L

X C )2 I 2 ,откуда

r 2

( X L

X C )2

( L

)

(4.36)

Где I-действительное значение тока,

r 2

X )2

(4.37)

-полное сопротивление цепи при последовательном соединении

сопротивлений r,	X L	, X C .	. Соотношение	(4.36) выражает закон	Ома для

последовательной цепи переменного тока.
Разделив стороны треугольника напряжений (рис.4.26) на ток I					получим
треугольник сопротивлений (рис.4.27),				из которого найде м	полное

сопротивление цепи


Z r 2 (X	L	X	C	) =	r 2	X 2
	L		C

Рис.4.27

где X = X L	X C -	реактивное	сопротивление
цепи.
Если в	цепи	последовательно		соединено

несколько активных, индуктивных и емкостных сопротивлений, то общее сопротивление цепи

Z ( r 2 ) ( X	L	X	C	)2	( r 2 ) ( X 2 )
	L		C

где

X L

X C .

Из треугольника сопротивлений (рис.4.27) можно определить угол

по

одному из соотношений:

X L

X C

(4.38)

cos

(4.39)

r 2

( X L

X C )2

sin

X L

X C

(4.40)

Выражения (4.38)

и (4.40)

определяют знак угла

т.е. показывают

опережение или отставание напряжения от тока. Если в (4.38)

X L

X C

то

будет

со

знаком

плюс. Угол

будет положителен, ,

ток отстает

от

напряжения на угол .

Если

X C

X L

, то

sin

будут со

знаком

минус,

т.е. угол

будет отрицателен.

Следовательно,

в этом случае

ток опережает

напряжение на угол .

Умножив все стороны треугольника

напряжений (рис.4.26) на ток I

получим треугольник мощностей (рис.4.28), в котором гипотен уза

представляет полную мощность цепи:

S=UI=Z I 2

Горизонтальный катет - это активная (полезная) мощность P :

P=UIcos

=Scos

Другой катет в масштабе мощности равен реактивной мощности Q:

Q=UIsin

xI 2

x )I

Из треугольника мощностей (рис.4.28) видно, что:

S P2

(Q Q )2

Пример. Схема (рис.4.25) имеет следующие параметры: r =3 Ом; L =22,3мГн,С =1060 мкФ; U =100 В. Определить ток I , угол , полную мощность цепи S, активную мощность цепи P, реактивную мощность Q

Решение. Полное сопротивление цепи :

r 2

x )2

Индуктивное сопротивление:

2 fC

2 3,14 50

22,310 3

7 Ом

2 f - угловая частота.

Емкостное сопротивление:

Ом

2 f

3,14 50 106010 6

Z 32 (7 3)2 5Ом

Действующее значение тока определим по формуле (4.36):

I	U	100	20 A

	Z	5

Угол сдвига фаз между током и напряжением определяем по формуле

(4.38):

arctg	X L X C	arctg	7 3	arctg		4	,		56	.
	r		3			3

Полная мощность цепи				S	UI			S	100		20 2000B A 2kB A
				S	ZI 2			5	202		2000B A

Активная мощность

P UI cos 2000		0.6		1200Вт , или P rI 2 3			202 1200Вт 1.2кВт
Реактивная мощность
Q	UI sin			2000 0.8 1600вар, или
Q	XI 2 =4			202 1600вар 1.6квар
Q	QL		QC		2800	1200 1600вар
Q	X	L	I 2	7	400	2800вар
L		L
Q	X	C	I 2	3	202	1200вар
C		C
Если мгновенное значение напряжения принять равным ( U 0)

						U		2U m sin t	,
									,

то мгновенное значение тока будет с учетом угла сдвига по фазе

iI m sin( t ) 2 20 sin( t 56 )

4.11.Резонанс напряжений

Вцепях c последовательным соединением r , L, C при определенных соотношениях этих величин может возникнуть резонанс напряжений. Это явление сопровождается значительным повышением напряжения на индуктивности и емкости, которое может оказаться значительно больше по величине приложенного к зажимам цепи напряжения. Это может вызвать пробой изоляции кабельной линии пробой между обкладками в конденсаторе или между витками катушки.

Пусть

в электрической

цепи

(рис.4.25)

X L = Хс.тогда

полное

сопротивление цепи

r 2 (x

И ток в цепи:

r 2

( X L

X C )2

(4.41)

При

резонансе

индуктивное

емкостное

сопротивления

скомпен -

сировались, электрическая цепь стала эквивалентна цепи только с одним

активным сопротивлением, когда ток

Imax .

Коэффициент мощности при резонансе равен единице, так как

=0.

При резонансе напряжений общее напряжение U цепи совпадает по фазе с

током I , при этом напряжения на отдельных участках будут: на активном

сопротивлении:

Ur rI

(4.42)

на индуктивном

U L

X L I

X L

(4.43)

на емкости

UC X C I

X C

(4.44)

Из выражений (4.43) и (4.44) следует, что

при резонансе

нап-

ряжений напряжения на индуктивности и на емкости больше

приложен -

ного к цепи напряжения в отношении

U L

X L

X C

U ,

т.е.чем

больше

L и

X C

по

сравнению

с r

,тем

больше

L и

по

сравнению с U

На рис.4.29 приведена векторная диаграмма при резонансе нап ряжений

(

X L X C

), из которой видно, что напряжения

U L

U C

компенсируют друг

друга (

U L

), так как они равны по величине и противоположны по фазе.

4.12 Расчет разветвленных цепей переменного тока

Рассмотрим схему (рис.4.30) цепи, состоящей из двух параллельных

ветвей, параметры которых r1 , L,r 2 , C заданы.

Нанесем на схеме положительные направления напряжения и токов. Напряжения на параллельных ветвях одинаковы, и, следовательно, ток в каждой ветви можно определить по закону Ома:

I		U	I		U
	1			2
		z1			z2

где	z	r 2	x 2	,	z		r 2	x 2
где	1	1	L	,		2	2	L

Построим векторную диаграмму токов для данной цепи (рис.4.31).

Рис.4.31

Построение начинают с вектора напряжений. Вектор каждого из токов отложен под

соответствующим углом сдвига по фазе

1 и

2 -

между напряжением и током в

ветви. Вектор тока в неразветвленной части цепи I по первому закону Кирхгофа

равен геометрической сумме двух токов:

Назовем проекцию тока на ось напряжения активными составляющими

токов I a ,

а проекции токов на горизонтальную

ось – реактивными

сопротивлениями токов I Р ,тогда ,как видно из диаграммы,

I 2

p1 ,

Активная и реактивная составляющие общего тока

Ia1

Ia2

I р

I р1

I р 2

(4.45)

а общий ток цепи

I 2

р1

Р2

Выразим активные и реактивные составляющие токов через сопротивления

ветвей и напряжение U

Активная составляющая тока первой ветви

I a1

I1 cos

Ug1

Z12

(4.46)

Z12 - активная проводимость первой ветви

где

Реактивная составляющая тока первой ветви

I р1

I1 sin 1

X L

UbL

(4.47)

Z12

где bL

X L

- реактивная проводимость первой ветви.

Активная и реактивная составляющие тока второй ветви:

I a 2	Ug1	U	X C
			Z 22

Активная и реактивная составляющие общего тока:

I р

I p1

I p2 UbL UbC

U (bL

bC ) Ub

Ia1

Ia2

Ug1

Ug 2

I p Ub

где

g g1

g 2

Согласно (4.45) общий ток цепи

I 2

U 2 g 2 U 2b2

U (g 2

b2 )

(4.48)

где q

q2 - суммарная активная проводимость всей цепи

b bL

bC -суммарная реактивная проводимость всей цепи

Угол сдвига между общим током I и напряжением U

g 2

Если цепь состоит из нескольких параллельных ветвей, то общий ток

I U ( g)2 (

b)2

(4.49)

где

(

g)2

(

b)2

- полная проводимость разветвленной цепи.

Следует отметить, что полная суммарная активная проводимость равна

арифметической сумме проводимостей

параллельных ветвей ( g ) ,а полная

реактивная проводимость равна алгебраической сумме реак тивных

проводимостей их (

b ). Размерность проводимости

См

Познакомившись в предыдущей лекции с расчетом разветвленных цепей

переменного

тока

методом

проводимостей,

рассчитаем

электри ческую

цепь

(рис.4.30) этим методом.

Пример.

Пусть

электрической

цепи

(рис

4.30) сопротивления равны: r1

3Ом

, r2

6Ом, X L

4Ом, ХС

8Ом ,напряжение на зажимах U=100В. Определим токи в

ветвях I1, I2 ,

суммарный ток I и мощности S,P,Q.

Решение. Общий ток согласно (4.49) I=yU,

Где y

b )2

- полная проводимость цепи.

Активная проводимость первой ветви:

0,12См

x 2

Активная проводимость второй ветви:

0,06См

z22

Реактивная проводимость первой ветви:

0,16См

Реактивная проводимость второй ветви:

bС

0,08См

z22

100

Полная проводимость цепи:

(0,12

0,06)2

(0,16

0,08)2

0,197См

Ток общий I=yU=0,197*100=19,7A

Полная мощность цепи: S=UI=100*19,7=1970BA=1,97кВА

Активная мощность: P=UIcos

=100*19,7*0,914=1800Вт

Где cos

0,914

8)2

Q	x	I 2	U	I
c	c		c

QL Qc Q

Пример.Схема(рис.4.25)имеетследующие параметры: r =3 Ом; L=22,3 мГн C =1060 мкФ; U =100 В. Определить ток I , угол , полную мощность цепи S , активную мощность цепи P , реактивную мощность Q .

Рисунок 4.28

Решение.Полноесопротивлениецепи

r 2

( x

x )

L = 2 3.14 50 22.3 10 3 7Ом

- угловая частота

Емкостноесопротивление;

3Ом

2 fc

2 3.14 50 1065 10 6

5Ом

Действующеезначениетокаопределимпоформуле(4.36)

100

20 A

Уголсдвигафазмеждутокоминапряжениемопределяемпоформуле(4,38):

arctg	xL xc	arctg	7 3	arctg	4
	r		3		3

56 .

Полная мощность цепи

UI ;S=100 20

2000 BA=2кВА.

ZI 2

5 202

2000 ВА

Активнаямощность

UI cos

=1200Вт,или

rI 2

3 202

1200 Вт=1,2Квт

Реактивнаямощность:

UI sin

2000

0.8 1600 вар,или

xI 2

=4 202 =1600вар=1,6квар

I 2

7 400

2800 вар

I 2

3 202

1200 вар

2800

1200

1600 вар

Если мгновенное значение напряжения принять равным ( при

0 )

2U sin

100 sin

то мгновенное значение тока будетс учетом угла сдвига по фазе

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 256 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электротехника

#
26.03.20155.74 Mб71Лабораторные Электротехника alfa1_ 21_01_13 .doc
#
26.03.201520.84 Mб49Мороз_Электротехника.pdf
#
26.03.2015812.96 Кб320Электротехника и основы электроники_2013.pdf