Мороз_Электротехника

11

Потенциал в точке 2 повысится скачком на величину ЭДС Е1 :

E1 берем со знаком + (плюс), так как направление обхода, взятое по направлению тока, совпадает с направлением E1 .

Учитывая это, можно написать

в a r1 I E1 ( r2 I ) E2

В электротехнике и физике принято разность потенциалов называть напряжением, следовательно,

плюс берут те ЭДС, которые совпадают по направлению с направлением тока), поделенным на сумму сопротивлений rn участка.

12

Если Em равна нулю, то

При последовательном соединении сопротивлений ток во всех сопротивлениях одинаков. 1.3. Параллельное соединение сопротивлений ( рис. 1.4,а )

При параллельном соединении сопротивлений напряжение на всех сопротивлениях одинаково и равно напряжению на зажимах в цепи. Если при последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений, то при параллельном соединении складываются проводимости. Суммарная, эквивалентная проводимость на зажимах цепи ав равна сумме проводимостей параллельных ветвей:

14

Единица проводимости Ом 1 в системе СИ называется сименсом (См). Проделав вычисления,

убеждаемся, что при параллельном соединении эквивалентное (полное) сопротивление цепи всегда меньше сопротивления ветви с наименьшим сопротивлением.

После краткого повторения материала, знакомого из курса физики, перейдем к расчету сложных электрических цепей.

1.4. Расчет сложных электрических цепей.

Рассчитать электрическую цепь – значит определить токи во всех ветвях при заданных ЭДС источников и сопротивлениях ветвей. Под сложной электрической цепью будем понимать такую цепь, токи в которой нельзя определить по приведенным ранее формулам.

В электротехнике известны несколько методов расчета сложных цепей постоянного тока. Мы познакомимся только с некоторыми из них: с расчетом цепей постоянного тока методом непосредственного применения законов Кирхгофа, методом контурных токов, методом узловых напряжений, методом преобразования электрических схем.

1.5. Метод применения законов Кирхгофа для расчета сложных цепей.

Метод расчета сложных цепей с применением законов Кирхгофа – универсальный метод, по этому методу можно рассчитать электрическую цепь любой сложности.

Из физики известны два закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа читается так: «Во всяком узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю»

I 0 ( 1.7.)

Под узлом электрической схемы понимается точка схемы, в которой сходятся не менее трех ветвей.

Возьмем сложную электрическую цепь ( рис. 1.6. ) и рассчитаем ее. Пусть будут заданы ЭДС источников по величине и направлению. Цепь имеет два источника ЭДС E1

и E2 , заданы также по величине все сопротивления: r1; r2 ; r3 ; r4 ; r5 .

Схема (рис.1.6.) имеет пять ветвей, следовательно, будет пять неизвестных токов, и для определения их надо составить по законам Кирхгофа пять уравнений.

Прежде чем перейти к составлению уравнений, произвольно выбираем в ветвях направления токов. В дальнейшем при работе будем считать эти направления положительными.

15

В схеме (рис. 1.6) три узла (m=3), а по первому закону Кирхгофа составляем m-1=3-1, т.е. два

уравнения. Условимся токи, приходящие к узлу, брать со знаком плюс, а уходящие от узла – со знаком минус:

Третье уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа для узла 3, является следствием

первого и второго уравнений и поэтому ничего не дает для решения.

Недостающие три уравнения составляет по второму закону Кирхгофа. Второй закон Кирхгофа

читается так: «Во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения в сопротивлениях этого контура»:

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа произвольно выбираем направление

обхода замкнутого контура.

В уравнении (1.8.) со знаком плюс берутся те ЭДС, направления которых совпадают с

направлением обхода контура, а падения напряжения в правой части уравнения берутся со знаком плюс на тех участках, где направление тока совпадает с направлением обхода контура.

Выбрав направление обхода контуров в схеме (1.6.) по направлению движения часовой стрелки,

составим три уравнения по второму закону Кирхгофа:

Следует отметить, что при выборе замкнутых контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа надо следить за тем, чтобы последующий выбранный контур отличался от предыдущих какой-либо новой ЭДС или новым сопротивлением.

16

Решив систему из пяти уравнений, найдем значения токов в ветвях. Если в полученном ответе окажется какой-либо ток со знаком минус, это означает, что действительное направление тока будет противоположно выбранному на схеме.

1.6. Проверка по методу баланса мощностей правильности расчета электрической цепи.

Подставив полученные значения токов в систему уравнений с 1 по 5, можно проверить только правильность решения этих уравнений, как это делается в алгебре.

Но для суждения о правильности расчета электрической цепи такой проверки недостаточно, так как сами уравнения могут быть составлены с ошибкой. Поэтому после проверки математической делают проверку по методу баланса мощностей:

В левой части уравнения (1.9.) берется алгебраическая сумма произведений ЭДС E источника ветви на действительную силу тока этой ветви, причем, если направление ЭДС E и направление тока совпадают, произведение EI берется со знаком плюс, в противном случае ставится минус.

Произведение EI – это мощность источника ЭДС, поэтому сумма таких произведений, т.е.

Em I - полная мощность всех источников, включенных в рассматриваемую электрическую цепь.

Вправой части уравнения (1.9.) стоит сумма мощностей, потребляемых каждым сопротивлением

–мощность потребителей.

Для схемы ( рис. 1.6.) баланс мощностей напишем так:

Левая часть уравнения должна быть точно равна правой части. Однако при практических расчетах, т.е. при приближенных расчетах, может получиться некоторое расхождение 1% .

1.7. Метод контурных токов Рассчитаем ту же электрическую цепь по методу контурных токов. Этот метод несколько упрощает

расчет, так как число уравнений в системе будет меньше, чем по методу непосредственного применения законов Кирхгофа. Разобьем схему (рис.1.7.) на отдельные замкнутые контуры. На рис.1.7. контуры обозначены римскими цифрами: I; II; III. Обозначим в контурах контурные токи

I I ; I II ; I III . Полагаем, что контурные токи замыкаются в своих контурах, проходя по всем сопротивлениям контура. На рис. 1.7. контурные токи показаны изогнутыми линиями. Направление контурных токов выбираем произвольно и

17

обозначаем их стрелками. Контурные токи, это расчетные (условные) токи. Для контуров с контурными токами составляем уравнения только по второму закону Кирхгофа.

В схеме (рис.1.7.) три независимых контура. Выбираем произвольно направления контурных токов, составляем три (по числу контуров) уравнения по второму закону Кирхгофа. При составлении

уравнений направление обхода контуров берется произвольно. В нашей схеме направление обхода взято по направлению контурных токов:

падение напряжения в сопротивлении r5 . Это сказалось на том, что в уравнении появился член -

r5 I II , причем знак минус стоит потому, что направление тока I II в сопротивлении r5

противоположно направлению обхода. Составим уравнения для второго и третьего контуров:

Решив полученную систему уравнений, определим контурные токи, по которым найдем действительные токи ветвей. Для этого нанесем на схему произвольно направления токов в сопротивлениях. Теперь очевидно, что ток I I в сопротивлении r1 равен по величине и направлению

18

В ветвях, являющихся общими для двух смежных контуров, действительные токи равны алгебраической сумме двух контурных токов:

1.8.Преобразование электрических схем

Вэлектротехнике встречаются схемы, расчет которых можно упростить, сделав некоторые преобразования. В электротехнике известны преобразования соединения сопротивлений треугольником в соединения звездой и обратно.

Возьмем для примера схему, изображенную на рис. 1.8. сплошными линиями. На практике такие

схемы известны под названием «схемы мостика». Конечно, рассчитать такую электрическую цепь можно изложенными ранее методами. Однако можно рассчитать ее проще, сделав преобразование схемы рис. 1.8. в схему рис. 1.9. Для этого участок схемы между узлами а,в,с с сопротивлениями

r1 ; r2 ; r3 , напоминающими треугольник со сторонами r1 ; r2 ; r3 , заменяем сопротивлениями ra12 ; rб13 rв23 ,

присоединенными к узлам а, б, в в СИ сходящимися в общей точке 0. Это напоминает трехлучевую звезду – соединение пунктиром на рис. 1.8.

Основой такого преобразования должно быть соблюдение следующих условий: токи I; I 5 и I 4 ,

потенциалы узлов a ; в ; с и, следовательно, напряжения Uac ;Uав ;Uв с должны оставаться неизменными. Известны формулы для такого преобразования треугольника в звезду:

19

Теперь схема принимает еще более простой вид (рис.I.II).

Общий ток I найдем по закону Ома: I E

rэкв.

Дальнейший ход решения рассмотрим на числовом примере.

Пример: Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.8.), если

r1 2Ом; r2 4Ом; r5 1,2Ом; r4 0,4Ом; r3 4Ом; E 18В.

Решение. Сопротивление лучей эквивалентной звезды rа ; rб ; rв определим по формулам (1.10):

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура bdcb (рис. 1.8.):

Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для узлов в и схемы (рис. 1.8.).