20-31

20. Вариация альтернативного признака

В статистике помимо показателей вариации количественных признаков широко используются показатели вариации качественных признаков (в частности, при проектировании выборочного наблюде­ния). Вариация альтернативного признака количественно проявляется

значении 0 (нуля) у единиц, которые этим признаком не обладают, лй 1 (единицы) у тех, которые данный признак имеют. Пусть р — до-единиц в совокупности, обладающих данным признаком, ^ — доля диниц, не обладающих данным признаком, причем р + д = 1.

Среднее значение альтернативного признака определим по (ЪормУле средней арифметической:

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле

Таким образом, средняя величина альтернативного признака равна его доле в данной совокупности, а дисперсия - произведению поли его наличия и доли его отсутствия. Максимальное значение дис­персии альтернативного признака, означающее максимальную неод­нородность совокупности, равно 0,25 прир = <7 = 0,5.

21. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсии

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом в ряде случаев бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокуп­ность, а также между труппами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии. В статистике различают общую, межгрупповую и внутригрупповую

дисперсии.

Общая дисперсия (о2) измеряет вариацию признака во всей сово­купности под влиянием факторов, обусловивших эту вариацию:

Межгрупповая дисперсия (52) характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки.

- среднее значение признака в г'-той группе;

- численность элементов совокупности в г'-той группе (Е п, = п).

Внутригрупповая дисперсия (о2,) отражает случайную вариа­цию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием случайных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в осно­вание группировки.

Средняя из внутригрупповых дисперсий (о2,) определяется по формуле

Существует соотношение, связывающее три вида дисперсий и называемое правилом сложения дисперсий:

Правило сложения дисперсий широко применяется при исчис­лении показателей тесноты связи. В статистической практике широко используется показатель, называемый коэффициентом детермина­ции, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии:

Коэффициент детерминации показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака. Корень квадратный из коэффициента де­терминации носит название эмпирического корреляционного от­ношения:

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариа­цию результативного признака. Оно изменяется в диапазоне от 0 до 1. Если г| — 0, то группировочный признак не оказывает влияния на ре­зультативный. Если г| = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группи­ровки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежу­точные значения оцениваются в зависимости от их близости к пре­дельным значениям. Так, в статистической практике зависимость ре-

„удьтативного признака от факторного считается слабой при О з < Л — 0>5' умеренной при 0,5 < т) > 0,7, сильной при Т| > 0,7.

22. Правило сложения дисперсий для альтернативного признака

Правило сложения дисперсий, рассмотренное применительно к вариации количественных признаков, сохраняется и при изучении ва­риации альтернативных признаков.

Общая дисперсия альтернативного признака определяется по формуле

где р- доля единиц в совокупности, обладающих изучаемым призна­ком.

Внутригрупповая дисперсия альтернативного признака рас­считывается по формуле

гдер - доля единиц в г'-той группе, обладающих изучаемым признаком. Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется сле­дующим образом:

Межгрупповая дисперсия находится по формуле

Общая дисперсия - по правилу сложения дисперсий:

24. Понятие о выборочном наблюдении и его значение

Статистика различает два вида наблюдения в зависимости от полноты охвата единиц совокупности - сплошное и несплошное Наиболее распространенной разновидностью несплошного наблюде­ния является выборочное.

Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором обобщающие показатели изучаемой сово­купности устанавливаются по некоторой ее части, включающей еди­ницы, отобранные случайным образом. Изучаемая статистическая со­вокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокуп­ности часть единиц, подвергающихся обследованию, называется вы­борочной совокупностью или выборкой.

Выборочный метод применяется в тех случаях, когда проведе­ние сплошного наблюдения невозможно или экономически нецелесо­образно В частности, проверка качества отдельных видов продукции может быть связана с ее уничтожением (например, оценка крепости ниток на разрыв, дегустация продуктов питания, контроль качества фарфора, электроламп, спичек, различных сплавов и т. п). Отдельные статистические совокупности настолько велики, что было бы физиче­ски невозможно собрать данные в отношении каждой из единиц (на­пример, изучение цен на рынках, изучение бюджетов семей). Выбо­рочное наблюдение используют также для проверки результатов сплошного наблюдения.

Выборочный метод позволяет при минимальной численности обслеоованных единиц наблюдение произвести в наиболее короткие сроки с минимальными затратами труда и средств Повышается оперативность информации, уменьшаются ошибки регистрации вследствие лучшего кадрового обеспечения наблюдения, так как к его проведению привлекаются наиболее квалифицированные кадры

Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками, то состав выборочной совокуп-

0ости может в той или иной мере отличаться от состава генеральной совокупности Возникающее вследствие этого расхождение между ха­рактеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Способы определения ошибки выборки и распро­странения характеристик выборки на генеральную совокупность и со­ставляют основное содержание статистической методологии выбо­рочного метода.

25. Основные способы формирования выборочной совокупности

При выборочном наблюдении, как правило, обследованию под­вергается сравнительно небольшая часть совокупности — 5-10%, реже 15-25% Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того, насколько репрезентативна (т. е. представительна) выборка. Для обеспечения репрезентативности выборки необходимо соблюде­ние принципа случайности отбора единиц. Принцип случайности предполагает, что на включение объекта в выборку не может повлиять какой-либо иной фактор, кроме случая.

Существуют различные способы формирования выборочной совокупности. В практике выборочных наблюдений наибольшее рас­пространение получили собственно-случайная, механическая, типиче­ская, серийная, комбинированная выборки При этом основным видом является собственно-случайная выборка Все другие являются ее развитием или видоизменением.

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад без каких-либо элементов сис­темности Отбор проводят методом жеребьевки или по таблицам случайных чисел. В первом случае всем элементам генеральной со­вокупности присваивается порядковый номер и для каждого элемента готовится жребий (пронумерованный шар или фишка). Жребии пере­мешиваются в специальном ящике, из которого затем отбираются наугад. Во втором случае производится выбор случайных чисел по специальным таблицам, которые и образуют порядковые номера для отбора В соответствии с объемом генеральной совокупности выбира­ется любой столбец или строка с числами необходимой значимости.

Собственно-случайный отбор может быть как повторным, так и бесповторным. Для проведения бесповторного отбора в процессе же-Ребьевки выпавшие жребии обратно в совокупность не возвращаются

и в дальнейшем отборе не участвуют. Если используются таблицы случайных чисел, то бесповторность отбора достигается пропуском чисел при их повторении в выбранном столбце или столбцах.

Механическая выборка применяется в случаях, когда гене­ральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т. е. имеется определенная последовательность в расположении единиц (например, табельные номера работников, избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т. п.). Для проведения ме­ханической выборки устанавливается пропорция отбора, которая оп­ределяется соотношением объемов выборочной и генеральной сово­купностей. За начало отсчета чаще всего принимают единицу, лежа­щую в середине первого интервала для исключения возможности воз­никновения систематической ошибки выборки. Шаг отсчета равен ширине интервала, на который разбивается совокупность. Механиче­ский отбор можно рассматривать как разновидность собственно-случайной бесповторной выборки.

Типическая выборка используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько ти­пических групп (т. е. осуществить типологическую группировку). На­пример, при обследованиях населения такими группами могут быть районы, социальные, возрастные или образовательные группы; при обследовании предприятий — отрасли и подотрасли, формы собст­венности и т. п. Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой типической группы собственно-случайным или механическим способом. При этом отбор единиц в типическую выборку может быть организован пропорционально объему типических групп либо про­порционально внутригрупповой вариации признака.

Серийный отбор удобен в тех случаях, когда единицы сово­купности объединены в группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством го-

мовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в соб­ственно-случайном или механическом отборе серий, внутри каждой Я3 которых производится сплошное обследование единиц.

Комбинированный отбор представляет собой различные соче­тания уже рассмотренных видов выборки. Так, можно комбинировать типическую и серийную выборки, когда серии выбираются в установ­ленном порядке из нескольких типических групп. Возможно также комбинирование серийного и собственно-случайного отбора, при ко­тором отдельные единицы отбираются внутри серии в собственно-случайном порядке.

26. Ошибка выборки

В процессе проведения выборочного наблюдения могут возни­кать ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности. Случай­ных и систематических ошибок регистрации и систематических оши­бок репрезентативности можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения. Случайных ошибок репрезентативности избежать невозможно, поскольку они возникают в силу того, что вы­борочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Однако среднюю величину случайной ошибки можно рассчитать, пользуясь методами теории вероятностей.

Применяя выборочной метод, в статистике используют два вида обобщающих показателей: средняя величина количественного при­знака; относительная величина альтернативного признака (доля единиц совокупности, обладающих признаком).

В соответствии с двумя видами обобщающих показателей суще­ствует два вида формул средней ошибки выборки: для расчета сред­ней ошибки средней величины количественного признака в вы­борке; для расчета средней ошибки доли. Эти формулы в свою оче­редь имеют разновидности, зависящие от способа отбора.

Введем следующие обозначения:

N - объем генеральной совокупности (число составляющих ее единиц); n- объем выборки (число обследованных единиц);

x средняя величина признака в генеральной совокупности (генеральная средняя);

x- средняя величина признака в выборочной совокупности (выборочная средняя);

p доля единиц, обладающих изучаемым признаком в генеральной совокупности (генеральная доля);

w доля единиц, обладающих изучаемым признаком в выбд рочной совокупности (выборочная доля);

— генеральная дисперсия;

s^2 выборочная дисперсия (для больших выборок, т. е. п{ n>30 s^2=о2);

R число серий в генеральной совокупности;r- число отобранных серий.

Формулы для расчета ошибки выборки при различных способах формирования выборочной совокупности

Сопоставление формул повторного и бесповторного отбора свидетельствует о том, что применение последнего приводит к уменьшению ошибки выборки. В тех случаях, когда численность генеральной совокупности (Н) очень велика по сравнению с числом отобранных единиц (и), ошибку бесповторного отбора можно опре-, делить по формуле для повторного отбора (Нт (1 — п) / N —> 1).

Исходя из приведенных выше формул можно утверждать, что

пняя величина случайной ошибки репрезентативности зависит от

° ияятого способа формирования выборочной совокупности, объема

борки, степени колеблемости изучаемого признака в генеральной

совокупности.

Для решения практических задач выборочного обследования оасчета средней ошибки выборки недостаточно. Так, из генеральной совокупности может быть получено несколько выборок. При этом фактическая ошибка каждой конкретной выборки может быть больше или меньше средней ошибки. Поэтому помимо средней, рассчитыва­ется предельная ошибка выборки. Ее величина зависит от того, с какой вероятностью должна гарантироваться ошибка выборки. Уро­вень доверительной вероятности определяется при помощи специаль­ного коэффициента /, называемого коэффициентом доверия. Наибо­лее часто употребляются следующие уровни доверительной вероятно­сти и значения I:

Расчет предельной ошибки производится по формулам

Величина генеральной средней или доли представляется в виде ппепелов следующим образом:

Таким образом, по результатам выборочного наблюдения с оп­ределенной степенью достоверности можно утверждать, что гене­ральная средняя или доля не выйдет за установленные пределы.

27. Определение необходимой численности выборки

На стадии организации выборочного наблюдения решается вопрос о том, каков должен быть объем выборочной совокупности, для того, чтобы была обеспечена требуемая точность результатов наблюдений. Уменьшение ошибки выборки, а следовательно, увеличение точности определения параметров генеральной совокупности всегда связано с увеличением объема выборки. Увеличивая численность выборки, можно довести ее ошибку до сколь угодно малых размеров. Однако из формул средней ошибки выборки следует, что уменьшение ошибки в 'к раз тре­бует увеличения объема выборки в К2 раз. Увеличение объема исследо­ваний, в свою очередь, вызывает дополнительные затраты труда и средств, снижает оперативность информации. Поэтому вопрос об опти­мальной численности выборки имеет важное практическое значение.

Определение необходимой численности выборки основывается на формуле ее предельной ошибки. Так, при случайном повторном

отборе объем необходимой численности выборки получаем в резуль­тате преобразования соответствующей формулы:

Таким же образом выводятся формулы для расчета численности выборки при других способах отбора (табл. 6.2) Расчетную величину объема выборки с целью получения запаса точности округляют в большую сторону. Для упрощения расчетов при определении объема бесповторной выборки может использоваться формула для повторной выборки, что также дает запас точности.

Иногда на практике задается не величина абсолютной предель­ной ошибки А„ а величина относительной, выраженная в процентах к средней, А%. В этом случае формулы для расчета необходимого объе­ма выборки также получаются в результате преобразования соответ­ствующих формул ошибки выборки:

Формулы для расчета необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности

Дисперсия признака в генеральной совокупности зачастую бы­вает неизвестна. Поэтому используют следующие приближенные спо­собы определения генеральной дисперсии:

1) используются данные предыдущих обследований;

2) проводятся несколько пробных обследований и выбирается наибольшее значение дисперсии;

3) если распределение признака в генеральной совокупности

подчиняется нормальному закону, то

4) при изучении альтернативного признака берется максималь­но возможная величина дисперсии, равная 0,25 (т. е. прии-= 0,5).

Для упрощения определения объема выборки можно воспользо­ваться таблицами, в которых указывается необходимая ее численность при заданных величинах доверительной вероятности и допустимой

ошибки.

Если целью выборочного наблюдения является изучение раз­личных признаков с неодинаковой колеблемостью, то при определе­нии необходимого объема выборки следует ориентироваться на тот признак, который при наибольшей колеблемости обладает наимень­шей величиной допустимой ошибки.

30. Понятие о статистических рядах динамики

Рядами динамики являются статистические данные, отобра­жающие развитие явления во времени.

В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: по­казатели времени I и соответствующие им уровни изучаемого яв­ления у. В качестве показаний времени в рядах динамики выступают определенные даты (моменты) времени либо отдельные периоды (го­ды, кварталы, месяцы, сутки). Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития изучаемого явления во вре­мени. Они могут выражаться абсолютными, относительными и сред­ними величинами.

В зависимости от характера изучаемого явления различают мо-ментные и интервальные ряды динамики.

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Примером мо-ментного ряда динамики может служить информация о списочной численности работников предприятия.

Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности.

Интервальные ряды динамики отображают итоги развития изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы времени). При­мером интервального ряда динамики могут служить данные о произ­водстве продукции.

Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интер­валы (субпериоды) времени. Например, суммируя объем производст­ва за три месяца получают его объем за 1 квартал. Суммирование уровней за последовательные интервалы времени позволяет получать ряды динамики более крупных периодов.

Статистическое отображение развития изучаемого явления во времени может быть представлено интервальными рядами с нарас­тающими итогами. Их применение обусловлено потребностями ото­бражения изменения изучаемых показателей не только за данный от­четный период, но и с учетом предшествующих периодов. При со­ставлении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней.

С помощью рядов динамики изучение закономерностей разви­тия социально-экономических явлений осуществляется в следующих основных направлениях:

- характеристика уровней изучаемых явлений; -измерение динамики изучаемых явлений посредством расчета

системы статистических показателей;

- выявление и количественная оценка основной тенденции ряда динамики (тренда);

- изучение сезонных колебаний;

-- экстраполяция и прогнозирование.

31. Правила построения рядов динамики

Необходимым условием для получения правильных выводов при анализе рядов динамики является сопоставимость уровней ряда между собой. Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, времени регистрации. Со-

поставимость по территории предполагает соблюдение одних и тех же территориальных границ. Сопоставимость по кругу охватывае­мых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов. Сопоставимость по времени регистрации для интер­вальных рядов обеспечивается равенством периодов времени за ко­торые приводятся данные. Дня моментных рядов динамики показате­ли приводятся на одну и ту же дату.

При построении рядов динамики помимо перечисленных усло­вий необходимо также соблюдать единую методологию их расчета, одни и те же единицы измерения, применять неизменные (сопостави­мые) цены. Возможными являются и некоторые другие причины не­сопоставимости.

В ряде случаев несопоставимые данные могут быть приведены к сопоставимому виду путем дополнительных расчетов. В частности, в статистике применяется прием, известный как смыкание рядов ди­намики. Этот прием позволяет преодолеть несопоставимость данных, возникающую вследствие изменения во времени круга охватываемых объектов или методологии расчета показателей, и получить единый ряд сопоставимых данных за весь период времени.

Проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показате­лей отдельных объектов. В таких случаях ряды динамики приводятся к общему основанию, т. е. к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения, а все ос­тальные уровни выражаются в виде коэффициентов или в процентах по отношению к нему.