Надійність та діагностика

Практическая работа №8

Оптимальное распределение резервов методом неопределенных множителей лагранжа

Цель: изучить и научиться рассчитывать в зависимости от исходных данных надежность восстанавливаемых систем, а также систем с использованием элементов математической логики.

Теоретический материал

При проектировании отказоустойчивых систем стремятся не только к достижению необходимой их надежности, но и к достижению этой надежности при минимальных затратах, т.е. к нахождению оптимального решения.

В отказоустойчивых ЭВМ и вычислительных системах существует ряд параметров, от которых зависит надежность системы. Сюда относятся количество резервных элементов, устройств или подсистем, параметры систем контроля и диагностики, характеристики программного обеспечения и др. Часть из этих параметров являются целочисленными (например, количество резервных элементов).

Рассмотрим задачи оптимизации, связанные с определением числа резервных элементов системы с учетом ограничивающих факторов (затрат). Под затратами будем понимать массу, габариты, стоимость, потребление энергии или другие характеристики системы. Подобные задачи могут быть двух видов.

Задачи оптимального резервирования первого вида состоят в определении требуемого количества резервных элементов, обеспечивающих максимум значения показателя надежности системы при величине затрат, не превышающей заданную:

где G – ограничения в виде множества допустимых значений, налагаемые на параметры ¯x.

Задачи второго вида состоят в определении требуемого количества резервных элементов, обеспечивающих заданное значение показателя надежности системы при минимальных затратах:

где H – ограничение, налагаемое на показатель надежности П(х).

Задачи оптимального резервирования встречаются в системах с резервированием на уровне процессоров, устройств или других подсистем. Для их решения используют методы неопределенных множителей Лагранжа, градиентный, прямого перебора и динамического программирования.

Оптимальное распределение резервов методом неопределенных множителей лагранжа

Данный метод дает приближенное решение задачи, так как он оперирует действительными числами, в то время как количество резервных элементов (подсистем) выражается как целое число. Округление результатов до целых чисел вызывает сдвиг экстремума в пространстве параметров, вследствие чего возникает погрешность решения.

Пусть вычислительная система состоит из n подсистем (процессоры, ОЗУ, внешние устройства и др.) и каждая подсистема имеет m_j резервов. Вероятность безотказной работы i-й системы () обозначим через Р_i.

Тогда вероятность безотказной работы вычислительной системы выразится как

(8.1)

Чтобы упростить выражение (4.1), допустим, что , где ­– вероятность отказа i-й подсистемы. Тогда вероятность отказа системы:

, (8.2)

где – вектор состава системы.

Масса, габариты или стоимость системы выражается в виде простой линейной зависимости:

(8.3)

где c_i – масса, габариты или стоимость i-й подсистемы.

При первой постановке задачи необходимо определить значения m_i, обеспечивающие при условии, что где – заданное значение массы, габаритов или стоимости системы. В этом случае функция Лагранжа имеет следующий вид:

, (8.4)

где ε –неопределенный множитель Лагранжа.

Необходимые условия экстремума функции выражаются системой уравнений:

Совместное решение уравнений (8.5) и (8.6) позволяет определить n оптимальных значений m_i, которые могут получиться нецелочисленными. Поэтому необходимо производить округления этих значений до ближайших целых чисел. После этого часть целочисленных значений сразу же исключается, поскольку для них не выполняются накладываемые ограничения.

Функцию Лагранжа перепишем в виде:

Подставив в уравнение (8.5), получим

откуда (8.7)

где .

Для определения множителя Лагранжа ε, подставим m_i из выражения (8.7) в уравнение (8.6):

следовательно, подставляя выражение в (8.7), окончательно получим:

.

(8.8)

При второй постановке задачи (найти оптимальное число m_i для обеспечения минимальных затрат при заданном уровне надежности) функция Лагранжа примет вид:

(8.9)

где – заданное значение вероятности отказа. Перепишем функцию с учетом (8.2) и (8.3).

(8.10)

Для обеспечения экстремума

Из уравнения (8.11) находим m_i:

(8.13)

где .

Находим множитель Лагранжа, подставив m_i из (8.13) в (8.12):

,

откуда .

В окончательном виде выражение для определения оптимального резерва i-й подсистемы имеет вид:

(8.14)

Выражения (8.8) и (8.14) являются приближенными из-за необходимости округления результата. Ошибка получается особенно большой при малых m_i. Кроме того, аналитический метод позволяет получать решения в явном виде только при простейших моделях надежности.

Пример 1. Имеется система, состоящая из четырех подсистем (n=4). Подсистемы характеризуются стоимостями c_i и вероятностями отказа за заданное время q_i:

i	1	2	3	4
ci	1,2	2,3	3,4	4,5
qi	0,2	0,3	0,25	0,15

Требуется построить систему, т.е. оптимальный вектор состава системы m={m₁ m₂ m₃ m₄}, обладающую вероятностью безотказной работы P≥0,99 при минимальной стоимости.

Решение

1. Первоначальное состояние системы, когда нет резервов, описывается вектором состояния m={1 1 1 1}; при этом:

, то есть P = 1 – Q = 0,1.

2. По формуле (8.14) определяем оптимальное количество элементов каждой подсистемы:

,

где

где

, где

, где

Округляя результаты до ближайших целых значений, получим приближенный оптимальный состав системы: m={4 5 4 3}. Таким образом, схема системы имеет вид, приведенный на рис. 8.1.

Рис. 8.1 – Оптимальная схема системы.

При этом:

ед.

Пример 4.2. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Интенсивности отказов блоков равны ч^-1, ч^-1 массы блоков с₁ = 2 кг, с₂ = 3 кг. Требуется определить оптимальный состав блоков системы при ее резервировании с учетом того, что масса системы не должна превышать 8 кг и вероятность ее отказа в течение наработки 1 ч должна быть минимальной.

Решение

Используем формулу (8.8), причем перепишем ее в виде:

Таким образом, m₁≈2, m₂≈1 (рис. 8.2). При этом кг,

Рис. 8.2 – Оптимальный состав блоков системы.