Тема 3. Диференціальні рівняння вищих порядків

Означення 1. Звичайним диференціальним рівнянням го порядку називається рівняння, яке пов’язує невідому функцію , незалежну зміннуі похідні функціїподого порядку включно:

. (2.1)

Обмежимося розгляданням рівнянь го порядку, які можуть бути розрішеними відносно старшої похідної

. (2.2)

Означення 2. Функція називаєтьсязагальним рішенням диференціального рівняння (2.1), якщо вона задовольняє рівнянню за будь – яких значень довільних констант .

Якщо невідома функція аргументузадана неявно рівністю , то така функція називаєтьсязагальним інтегралом диференціального рівняння.

Означення 3. Частинним рішенням (частинним інтегралом) диференціального рівняння називається рішення , яке може бути отримане із загального при певних значеннях довільних констант.

Для знаходження частинного рішення диференціального рівняння необхідно знайти числові значення довільних констант . Для цього необхідно розв’язати задачу Коші.

Для рівняння (2.1) задача Коші ставиться таким чином: серед рішень рівняння треба знайти частинне рішення , яке задовольняєпочатковим умовам

Детальніше зупинимиося на диференціальному рівнянні другого порядку

. (2.3)

Функція є загальним рішенням рівняння (2.3) за умови, що вона задовольняє рівнянню при будь яких значеннях довільних констант.

Задача Коші для рівняння (2.3) полягає у знаходженні рішення , яке задовольняє початковим умовам

Розглянемо окремі види рівнянь вищих порядків.

3.1. Рівняння, що допускають зниження порядку

3.1.1. Диференціальні рівняння виду

Простішим диференціальним рівнянням го порядку є рівняння, яке містить незалежну змінну (в окремому випадку постійну величину) і похіднуго порядку:

, (2.4)

де диференційована в інтерваліфункція.

Загальне рішення рівняння (2.4) знаходиться шляхом кратного інтегрування частин рівняння. Зокрема рішення рівняння другого порядку

(2.5)

знайдемо наступним способом: , тоді

. (2.6)

Приклад 11. Розв’язати рівняння , якщо.

Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на :. Проінтегруємо перший раз і знайдемо. Оскільки, то , отжеі. Проінтегруємо вдруге і отримаємо

Оскільки , то , звідки і.

Відповідь. .

3.1.2. Рівняння другого порядку, які не містять невідомої функції

Рівняння виду

(2.7)

за допомогою підстановки , денова невідома функція, зводиться до рівняння першого порядку, тобто в цьому випадку.

Приклад 12. Проінтегрувати диференціальне рівняння .

Розв’язання. Задане рівняння не містить явно невідомої функції , тому скористаємося підстановкою,і отримаємо лінійне рівняння першого порядку.

.

.

.

.

.

.

Відповідь. .

3.1.3. Рівняння другого порядку, які не містять незалежної змінної

Рівняння виду

(2.8)

за допомогою підстановки , денова невідома функція, зводиться до рівняння першого порядку, тобто в цьому випадку.

Приклад 13. Розв’язати рівняння , якщо.

Розв’язання. Задане рівняння не містить явно незалежної змінної , тому скористаємося підстановкою,і отримаємо рівняння першого порядкуз подільними змінними.

; ;;;;;;.

Оскільки , тоі, а отже,.

; ;;;.

За умовою , тоді , звідкиі остаточно.

Відповідь. .