Тема 2. Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння І порядку в загальному вигляді може бути записане так: . Якщо таке рівняння розрішити відносно похідної, то його можна подати у вигляді.

Загальним рішенням (загальним інтегралом) рівняння першого порядку є функція ,, яка задовольняє рівнянню при будь – яких значеннях довільної константи.

Отже, для знаходження частинного рішення рівняння І порядку слід знайти значення лише однієї константи . Для цього достатньо задати єдину початкову умову, розв’язати задачу Коші і знайдене значення підставити в загальне рішення. В результаті отримаємо частинне рішення, яке задовольняє початковій умові.

Розглянемо основні типи диференціальних рівнянь І порядку.

2.1. Рівняння , яке може бути розв’язане шляхом простого інтегрування обох частин рівняння, тобто.

Приклад 1. Знайти частинне рішення рівняння , якщо.

Розв’язання. .При знаходимо:Підставимо знайдене значенняв загальне рішення і отримаємо частинне рішення.

Відповідь: .

2.2. Рівняння з подільними змінними

Означення. Диференціальним рівнянням з подільними змінними називається рівняння

, (1.1)

або

. (1.2)

Поділимо обидві частини рівняння (1.1) на добуток і отримаємо рівняння

. (1.3)

Позначимо , тоді перейдемо к рівнянню з поділеними змінними, в якому кожне з двох доданків в лівій частині залежить лише від однієї змінної. Інтегруючи почленно останню рівність, знайдемо загальний інтеграл даного рівняння .

Приклад 2. Розв’язати рівняння , якщо.

Розв’язання. Замінимо і помножимо обидві частини рівняння на:

.

Поділимо обидві частини рівняння на добуток :

.

Проінтегруємо обидві частини рівняння:

.

; . Отримаємо

.

Помножимо обидві частини рівняння на і скористуємося властивостями логарифмів:

Потенціюючи, знаходимо:

,

звідки отримаємо загальне рішення рівняння:

.

Розв’яжемо задачу Коші при :.

Підставимо значення в загальне рішення рівняння і остаточно знайдемо частинне рішення рівняння:

.

Відповідь. .

2.3. Однорідні диференціальні рівняння

Означення 1. Функція називаєтьсяоднорідною функцією го виміру, якщо для будь – якого виконується рівність

.

Приклад 3. Функція є однорідною функцією третього виміру, бо.

Функція є однорідною функцією нульового виміру, тому що.

Завдання 1. Доведіть, що функція є однорідною функцією першого виміру, а функціяє однорідною функцією другого виміру.

Означення 2. Диференціальне рівняння першого порядку

, (1.4)

називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру відносноі.

Отже, згідно з означенням, для будь – якого. Оберемоі отримаємо, тобтоі функціязалежить лише від відношення аргументів. Тому рівняння (1.4) може бути записане у вигляді

. (1.5)

Введемо допоміжну функцію , і оскільки, то. Отримаємо рівняння з подільними змінними

. (1.6)

Розв’яжемо його: Далі знаходимо інтеграл в лівій частині рівняння, замінюємо в ньому і отримаємо загальний інтегралрівняння (1.4).

Для того, щоб розв’язати однорідне рівняння, необхідно:

1. Переконатися в тому, що рівняння однорідне, і записати його у вигляді (1.4).

2. Покласти ,.

3. Скоротити дріб на (повністю), перенестив ліву частину і спростити її.

4. Розділити змінні (справа завжди ) і про інтегрувати.

5. Замінити і спростити.

Зауважимо, що рівняння є однорідним, якщоіє однорідними функціями однакового виміру.

Приклад 4. Знайти загальний інтеграл рівняння .

Розв’язання.

Оскільки , то функціяєоднорідною функцією нульового виміру, і задане рівняння є однорідним.

Відповідь. .

Приклад 5. Проінтегрувати рівняння .

Розв’язання. Оскільки функції і є однорідними функціями другого виміру (переконайтеся самостійно), то задане рівняння є однорідним.

Відповідь. .

Приклад 6. Розв’язати задачу Коші , якщо.

Розв’язання.

Права частина рівняння містить функцію, яка залежить лише від відношення аргументів , тому рівняння є однорідним.

Якщо , то, звідки . Отримаємо

Відповідь. .