Міністерство освіти і науки України

Східноукраїнський національний університет

імені Володимира Даля

Коледж

„Затверджую”

Заступник директора

з навчально – методичної роботи

_______________ Г.В. Можаєва

„___” _______________ 20__ р.

Диференціальні рівняння

Методичні вказівки та контрольні завдання

для студентів спеціальностей

5.04030101 «Прикладна математика»

5.05010301 «Розробка програмного забезпечення»

Склав викладач:

Захаров В.В.

Вказівки розглянуті та затверджені

на засіданні циклової комісії

природничо-математичних дисциплін

„___” ______________ 20__ р.

Протокол № __

Голова ЦК ______________ Ферапонтова О.Є.

Луганськ 2009

Вступ

Вивчення дисципліни „Диференціальні рівняння” має за мету продовження математичної освіти студента і сприяє поширенню та поглибленню математичних знань майбутнього фахівця. Тому задача вивчення дисципліни полягає в тому, щоб не лише закласти фундамент математичних знань для підвищення рівню освітньої та професійної підготовки фахівця, але й запропонувати апарат для розв’язання пикладних задач; підготувати базу для оволодіння новими навчальними дисциплінами.

Вивчивши дисципліну, студент

повинен знати:

• методи розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку;

• рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку;

• прийоми розв’язання лінійних однорідних і неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку;

• засоби розв’язання систем лінійних диференціальних рівнянь;

• засоби розв’язання прикладних задач;

повинен вміти:

• використовувати диференціальні рівняння в задачах механіки;

• знаходити рішення інтегрованих типів рівнянь першого порядку;

• інтегрувати та знижувати порядок деяких рівнянь з вищими похідними;

• розв’язувати лінійні однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку;

• визначати тип диференціального рівняння та обирати оптимальний метод його розв’язання.

Зміст дисципліни

1. Диференціальні рівняння, основні поняття і означення: порядок, загальні і частинні рішення (інтеграли) рівняння, інтегральні криві. Задача Коші.

2. Диференціальні рівняння першого порядку: рівняння з подільними змінними, однорідні рівняння, лінійні рівняння, рівняння в повних диференціалах.

3. Диференціальні рівняння другого порядку: рівняння, що допускають зниження порядку, лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами (фундаментальна система рішень, визначник Вронського, характеристичне рівняння), лінійні неоднорідні рівняння з постійними коефіцієнтами (зі спеціальною правою частиною, метод варіації).

4. Системи звичайних диференціальних рівнянь. Задача Коші для нормальної системи диференціальних рівнянь. Метод виключення. Структура загального рішення. Нормальні системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.

Тема 1. Диференціальні рівняння: основні поняття і означення

Розв’язання різних задач з фізики, математики, економіки та ін. зводиться до відшукання невідомої функції з рівняння, яке містить незалежну змінну, невідому функцію і її похідні та диференціали. Таке рівняння називається диференціальним.

Означення 1. Рівняння, яке пов’язує незалежну змінну, невідому функцію і її похідні та диференціали називається звичайним диференціальним рівнянням.

Завдання 1. Серед наведених рівнянь назвіть ті , які є диференціальними.

1. ; 2.; 3.; 4.; 5.; 6..

Означення 2. Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, яка входить в це рівняння.

Так, в загальному вигляді, рівняння є рівнянням першого порядку, рівнянняє рівнянням другого порядку, рівнянняє рівняннямго порядку.

Завдання 2. Визначити порядок рівнянь із завдання 1.

Крім звичайних диференціальних рівнянь існують також рівняння в частинних похідних, де невідома функція є функцією декількох змінних.

Означення 3. Рішенням диференціального рівняння називається будь – яка функція, що задовольняє заданому рівнянню.

Приклад 1. Для рівняння одним з рішень є функція, тому щоі тоді рівністьє вірною. Але це рішення не єдине. Будь – яка функція, дедовільні константи, також є рішенням даного рівняння (переконайтеся в цьому самостійно). Отже, рішенням рівняння другого порядку є функція, яка містить дві довільні константи (або не містить їх). В цьому розумінні функціяназивається загальним рішенням рівняння, а функція– його частинним рішенням.

Означення 4. Функція називаєтьсязагальним рішенням диференціального рівняння , якщо вона задовольняє рівнянню за будь – яких значень довільних констант.

Якщо невідома функція аргументузадана неявно рівністю , то така функція називаєтьсязагальним інтегралом диференціального рівняння.

Означення 5. Частинним рішенням (частинним інтегралом) диференціального рівняння називається рішення , яке може бути отримане із загального при певних значеннях довільних констант.

Для знаходження частинного рішення диференціального рівняння необхідно знайти числові значення довільних констант . Для цього необхідно розв’язати задачу Коші.

Для рівняння задача Коші ставиться таким чином: серед рішень рівняння треба знайти частинне рішення, яке задовольняєпочатковим умовам