Лабораторная работа 5. Обработка информации в организационных системах

1. Целевая установка

Ознакомиться с оптимизационными методами обработки информации в организационных системах.

2. Теоретические сведения

Рассматриваются типовые оптимизационные задачи в классической постановке.

Распределительная задача

Целевая функция (максимизация прибыли)

Ограничения на ресурсы

Ограничения на план

Условие неотрицательности переменных

Индексные переменные

Условные обозначения:

i - тип продукции;

j - вид невзаимозаменяемого ресурса;

- норма расхода i-го ресурса на выпуск единицы j-ой продукции;

- прибыль от реализации единицы j-ой продукции;

- соответственно нижняя и верхняя границы директивного плана на выпуск j-ой продукции;

- выпуск j-ой продукции в оптимальном плане (т.е. плане, гарантирующем максимальную прибыль).

В задачах линейного программирования число переменных (n) превышает число линейно независимых уравнений (ограничений). Поэтому существует бесчисленное множество решений, из которых нужно выбрать единственное (оптимальное), удовлетворяющее целевой функции.

Среди численных методов решения задач линейного программирования наиболее широко применяется симплекс-метод, разработанный Дж. Данцигом, и его многочисленные модификации. Идея этого метола заключается в направленном переборе вершины области допустимых решений (ОДР), при котором эффективность реализуемой операции в каждой следующей вершине выше, чем в предыдущей.

Исходная математическая модель приводится к стандартной форме за счет введения дополнительных неопределенных переменных в ограничения-неравенства и искусственных нулевых переменныхв огра­ничения-равенства (переменныеназываются основными):

Разница между общим числом переменных и числом ограничений-равенств носит название ранга матрицы к (мерность пространства). Идея симплекс-метода заключается в том, чтобы из общего числа переменных выбрать к переменных свободными (равными нулю), а остальные – базовыми (не равными нулю) таким образом, чтобы целевая функция Е стала максимальной.

 

Задача «о назначениях»

Задача о назначениях является частным случаем распределительной задачи в случае, когда имеется одинаковое количество исполнителей и работ. Главная характеристика - производительность (стоимость выполнении) i-го механизма при исполнении j-ой работы . При этом для каждой работы должен использоваться один вид механизма (исполнитель), т.е. переменнаяможет принимать только одно значение (0 или 1). Матрица исходных данных является квадратной (m = n).

Целевая функция (максимизация производительности)

Ограничения по работам

(на j-ю работу можно назначать только один механизм)

Ограничения по механизмам

(i-й механизм можно использовать только на одной работе)

Условие целочисленности

(переменная может принимать значение 1 или 0)

Условие неотрицательности переменных

Индексные переменные

Транспортная задача

Задача отличается определенностью экономической характеристики, особенностью матема­тической формы, наличием специфических методов решения. Транспортная задача относится к классу распределительных задач. Она может использоваться не только для планирования перевозок, но и для решения задач о рациональном размещении производства, об оптимальном использовании кадров, о назначениях и т.п.

Особенности транспортной задачи:

 производится однотипная продукция;

 ограничения задаются в виде равенств;

 каждая переменная входит в два ограничения;

 коэффициенты при переменных в ограничениях равны единице;

 число линейно независимых ограничений равно (m + n – l),

где m - число поставщиков, n - число потребителей.

Целевая функция (минимизация транспортных расходов)

Ограничения по запасам поставщиков

Ограничения по заявкам потребителей

Условие неотрицательности переменных

Индексные переменные

Условные обозначения:

i - число поставщиков;

j - число потребителей;

Е - целевая функция;

- запасы 1-го поставщика;

- заявка j-ro потребителя;

- количество продукции, перевозимой от i-го поставщика к j-му потребителю по оптимальному плану.

Так как транспортная задача является задачей линейного программирования, для ее решения можно использовать симплекс-метод. Однако в силу отмеченных особенностей подобных задач, для их решения были разработаны более простые методы (например, метод потенциалов).

Метод потенциалов включает два этапа: нахождение опорного решения; нахождение оптимального решения.

Для нахождения опорного решения применяют метод северо-западного угла, метод минимального элемента или метод последовательного приближения. Опорное решение отвечает ограничениям, но не минимизирует целевую функцию.

Для нахождения оптимального решения используется метод потенциалов, использующий дополнительные переменные: - потенциал поставщика;- потенциал потребителя.

Для базисных клеток должно соблюдаться условие . Для свободных клеток вводят фиктивные стоимости перевозок.

Текущий план оценивается по величине, называемой оценкой перевозок: . Очевидно, что в оптимальном плане у всех базисных клеток.

Метод потенциалов можно применять только к закрытым задачам (запасы поставщиков должны равняться заявкам потребителей).

Задача с условием целочисленности

В задачах целочисленного (или дискретного) программирования на переменные накладывается дополнительное условие - некоторые (или все) переменные могут принимать только целые значения. Среди этих задач можно отметить:

1) задачи, в которых некоторые переменные обозначают количество неделимых единиц (например, уникальное дорогостоящее оборудование);

2) задачи с альтернативными переменными типа «да-нет», связанные с выбором того или иного варианта из фиксированного конечного набора решений. В этом случае используются булевы переменные, имеющие только два значения ( - решение принято;- решение отвергнуто);

3) задачи с альтернативными ограничениями типа «или-или», в которых переменные могут принимать значения и(например, стоит вопрос - или выпускать партию изделия не менее определенного количества, или изделие не выпускать);

4) комбинаторные задачи, суть которых состоит в отыскания среди множества вариантов одного, которому отвечает экстремальное значение принятой целевой функции (например, задачи упорядочения, составления расписания, календарного планирования).

Математическая модель подобных задач не отличается от модели задачи линейного программирования при введении условия целочисленности. Для решения этих задач используются методы отсечения и комбинаторные методы.

При использовании метода отсечений к решению задачи линейного программирования добавляется ограничение, отсекающее полученное целочисленное решение и не отсекающее ни одной целочисленной точки.

Среди комбинаторных методов можно отметить наиболее широко применяемый метод ветвей и границ и его модификации (например, метод Лэнд и Дойг). Идея этого метода состоит в добавлении к текущей целочисленной задаче двух новых с измененными границами для переменной, которая должка быть целочисленной.