4.2. Базовые механизмы стимулирования

Перечислим базовые системы (механизмы) стимулирования в одноэлементных детерминированных, то есть функционирующих в условиях полной информированности обо всех существенных внешних и внутренних параметрах, организационных системах (оптимальная базовая система стимулирования – компенсаторная (К-типа) – см. выше).

Скачкообразные системы стимулирования (С-типа) характеризуются тем, что агент получает постоянное вознаграждение (как правило, равное заранее установленному значению С) при условии, что выбранное им действие не меньше планового действия x, и нулевое вознаграждение при выборе меньших действий (рис. 4.5):

. (4.1)

Системы стимулирования С-типа содержательно могут интерпретироваться как аккордные, соответствующие фиксированному вознаграждению С при заданном результате (например, объеме работ не ниже оговоренного заранее, времени и т.д.). Другая содержательная интерпретация соответствует случаю, когда действием агента является количество отработанных часов, то есть вознаграждение соответствует, например, фиксированному тарифному окладу.

Пропорциональные (линейные) системы стимулирования (L-типа). На практике широко распространены системы оплаты труда, основанные на использовании постоянных ставок оплаты: повременная оплата подразумевает существование ставки оплаты единицы рабочего времени (как правило, часа или дня), сдельная оплата - существование ставки оплаты за единицу продукции и т.д. Объединяет эти системы оплаты то, что вознаграждение агента прямо пропорционально его действию (количеству отработанных часов, объему выпущенной продукции и т.д.), а ставка оплаты является коэффициентом пропорциональности (рис. 4.6):

. (4.2)

При использовании пропорциональных (линейных) систем стимулирования и непрерывно дифференцируемой монотонной выпуклой функции затрат агента выбираемое им действие определяется следующим выражением: , где - функция, обратная производной функции затрат агента. При этом затраты центра на стимулирование превышают минимально необходимые (равные компенсируемым затратам агента) на следующую величину: . Например, если центр имеет функцию дохода H(y)=by, b>0, а функция затрат агента выпукла и равна: c(y)=ay², a>0, то при любом реализуемом действии агента центр при использовании пропорциональной системы стимулирования переплачивает ему ровно в два раза.

Таким образом, при выпуклых функциях затрат агента эффективность пропорциональных систем стимулирования не выше, чем компенсаторных. График целевой функции агента при использовании центром пропорциональной системы стимулирования приведен на рис. 4.7.

Неэффективность пропорциональных систем стимулирования вида обусловлена требованием неотрицательности вознаграждений. Если допустить, что вознаграждение может быть отрицательным (при этом «отрицательный» участок функции стимулирования может не использоваться – см. рис. 4.8):, где , то при выпуклых функциях затрат агента эффективность пропорциональной системы стимулированияможет быть равна эффективности оптимальной (компенсаторной) системы стимулирования.

Для обоснования этого утверждения достаточно воспользоваться следующими соотношениями (см. рис. 4.9):

.

Оптимальное значение ставки оплаты при этом выбирается из условия максимума целевой функции центра:

.

Системы стимулирования, основанные на перераспределении дохода (D-типа), используют следующую идею. Так как центр выражает интересы системы в целом, то можно условно идентифицировать его доход и доход от деятельности всей организационной системы. Поэтому возможно основывать стимулирование агента на величине дохода центра – положить вознаграждение агента равным определенной (например, постоянной) доле дохода центра:

(4.3)

Отметим, что системы стимулирования C, L и D-типа являются параметрическими: для определения скачкообразной системы стимулирования достаточно задать пару (x, C); для определения пропорциональной системы стимулирования достаточно задать ставку оплаты ; для определения системы стимулирования, основанной на перераспределении дохода, достаточно задать норматив.

Перечисленные выше системы стимулирования являются простейшими, представляя собой элементы «конструктора», используя которые можно построить другие более сложные системы стимулирования – производные от базовых. Для возможности такого «конструирования» необходимо определить операции над базовыми системами стимулирования. Для одноэлементных детерминированных ОС достаточно ограничиться операциями следующих трех типов.

Первый тип операции – переход к соответствующей «квази»-системе стимулирования – вознаграждение считается равным нулю всюду, за исключением действия, совпадающего с планом. В детерминированных организационных системах «обнуление» стимулирования во всех точках, кроме плана, в рамках гипотезы благожелательности практически не изменяет свойств системы стимулирования, поэтому в ходе дальнейшего изложения мы не будем акцентировать внимание на различии некоторой системы стимулирования и системы стимулирования, получающейся из исходной применением операции первого типа.

Второй тип операции – разбиение множества возможных действий на несколько подмножеств и использование различных базовых систем стимулирования на различных подмножествах. Получающиеся в результате применения операции второго типа системы стимулирования называют составными. Примером составной системы стимулирования является система LL-типа, в которой при действиях агента, меньших некоторого норматива, используется одна ставка оплаты, а результаты, превосходящие норматив, оплачиваются по более высокой ставке.

Третий тип операции – алгебраическое суммирование двух систем стимулирования (что допустимо, так как стимулирование входит в целевые функции участников системы аддитивно). Результат применения операции третьего типа называют суммарной системой стимулирования.

Например, на рис. 4.10 приведен эскиз системы стимулирования C+L-типа (сдельно-премиальная система оплаты труда), получающейся суммированием скачкообразной и пропорциональной систем стимулирования.

Таким образом, базовыми системами стимулирования называют системы C-типа, K-типа, L-типа и D-типа, а также все производные от них (то есть получающиеся в результате применения операций перечисленных выше трех типов) системы стимулирования.

Введенные базовые системы стимулирования достаточно полно охватывают все используемые на практике формы индивидуальной заработной платы.

Механизмы стимулирования в одноэлементной системе.

Рассмотрим целевую функцию центра. Она представляет собой при использовании компенсаторной системы стимулирования с доход центра минус стимулирование агента:. Если вознаграждение агента равно затратам, то выигрыш центра в зависимости от того, какое действие он побуждает выбирать агента, представляет собой разность между доходом центра и затратами. Следовательно, нужно выбратьx^*, который будет доставлять максимум по разности.

Таким образом, сначала имелась сложная система стимулирования – ее упростили до системы с двумя параметрами. Первый параметр рассчитали. Осталось найти второй параметр – план x^*. Он должен быть такой, чтобы максимизировать разность между доходом центра и системой стимулирования, равной в точности затратам агента. В результате оптимальным решением задачи стимулирования будет компенсаторная система стимулирования такого вида, в которой размер вознаграждения равен затратам агента, а оптимальный план равен плану, максимизирующему разность между доходом центра и затратами агента. Окончательно оптимальное решение будет выглядеть следующим образом:

.

Рассмотрим данное решение задачи поиска оптимального плана x^*. Это выражение означает, что разность между доходом центра и затратами агента – «толщина» области компромисса (см. рис. 4.3) – максимальна. При дифференцировании в точке x^* угол наклона касательной к функции дохода центра будет равен углу наклона касательной к функции затрат агента. В экономике это интерпретируется как точка оптимума, в которой предельная производительность равна предельным затратам.

Значит, точка x^* является оптимальной с точки зрения центра и реализуется исход, определяемый точкой В на рис. 4.3. Возможна другая ситуация. Рассмотрим модель, в которой первое предложение делает агент. Он предлагает центру: «я буду делать столько-то, а ты мне будешь платить столько-то». Если центр это устраивает, он соглашается.

Вопрос: что должен предложить агент? Агент должен предложить центру то же самое действие x^*, а плату запросить соответствующую точке А на рис. 4.3. В этой ситуации всю «прибыль» [H(x^*)–c(x^*)] будет забирать агент.

Другими словами, в данной игре выигрывает тот, кто делает ход первым. Если начальник, то он «сажает на ноль» подчиненного, если подчиненный, то он «сажает на ноль» начальника. В рамках формальной модели и тот, и другой на это согласятся.

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть заданы целевые функции центра и агента, в которых фигурируют доход центра и затраты агента. Переменная – функция стимулирования – является внутренней характеристикой системы, отражающей взаимодействие между центром и агентом: сколько центр отдал, столько агент и получил. Если просуммировать целевые функции центра и агента, то сократятся значения функции стимулирования, и останется разность доходов и затрат. Значит действие x^*, которое является решением задачи стимулирования, максимизирует сумму целевых функций, то есть, действие агента, которое реализует центр, оптимально по Парето.

Можно ставить задачи определения конкретной точки внутри отрезка АБ на рис. 4.3. Мы рассмотрели две крайности:

1. всю прибыль себе забирает центр;

2. всю прибыль забирает агент.

Возможно определение компромисса между ними, то есть центр и агент могут договориться делить эту прибыль, например, пополам. Тогда агент, кроме компенсации затрат, получает половину этой прибыли. Или другой принцип: фиксированный норматив рентабельности, то есть пусть стимулирование агента составляет не только затраты, а затраты, умноженные на единицу плюс норматив рентабельности. Аналогично анализируется большое количество модификаций задачи стимулирования.

Решение задачи найдено – компенсаторная система стимулирования с планом x^*. Единственно ли оно? Рассуждение очень простое: пусть есть функция затрат агента, и есть план x^*. Оптимальная система стимулирования – квазикомпенсаторная – побуждает агента выбирать x^*, и центр несет затраты на стимулирование в точности равные затратам агента.

Возьмем другие системы стимулирования, которые побуждают агента выбирать то же действие, а центр платить столько же. Для того чтобы такая система стимулирования существовала необходимо, чтобы функция стимулирования проходила через точку (x^*, c(x^*)).

Утверждение 4.2. Для того чтобы агент выбирал действие x^*, достаточно, чтобы функция стимулирования проходила через точку (x^*, c(x^*)), а во всех остальных точках была не больше, чем затраты агента.

Если взять любую систему стимулирования из изображенных на рис. 4.11, то она тоже будет побуждать агента выбирать это действие, и центр будет платить столько же.

Можно взять скачкообразную систему стимулирования – при действиях, меньших плана, вознаграждение равно нулю, выполнил план – получил вознаграждение не меньшее затрат (аккордная оплата). Можно выбрать монотонную систему стимулирования, которая проходит через точку (x^*, c(x^*)), и всюду лежит ниже затрат. То есть любая кривая, проходящая через точку (x^*, c(x^*)) и лежащая ниже функции затрат, будет решением задачи стимулирования.

В табл. 4.1 приведены оценки сравнительной эффективности различных базовых систем стимулирования.

Табл. 4.1. Оценки сравнительной эффективности базовых систем стимулирования

	K	C	L	LK	D	L+C	LL
K	=	=		=		=	=
C	=	=		=		=	=
L			=		?
LK	=	=		=		=	=
D			?		=
L+C	=	=		=		=	=
LL	=	=		=		=	=

В данной таблице сравнительная эффективность семи базовых систем стимулирования (в предположении выпуклости и монотон­ности функции затрат агента), отражена следующим образом: если в ячейке стоит символ «», то эффективность системы стимулирова­ния, соответствующей строке, не ниже эффективности системы стимулирования, соответствующей столбцу (аналогичный смысл имеют и другие неравенства; символ «?» означает, что сравнительная эффективность систем стимулирования L-типа и D-типа в каждом конкретном случае зависит от функции затрат агента и функции дохода центра).

Параметрическое представление целевых функций. До сих пор мы рассматривали задачи, в которых ограничения на класс целевых функций агентов (точнее – на функции стимулирования) отсутствовали. На практике нередко класс целевых функций агентов задан в параметрическом виде f(x,y), где ,X – множество значений параметра x. Представим f(x,y) в виде

где h(y)=f(y,y), .

Параметр x естественно интерпретировать как плановое задание для агента (желательное для центра состояние агента), а – как штраф при отклонении состояния от плана , . В этом случае задача стимулирования фактически становится задачей планирования в условиях полной информированности. Задача оптимального планирования становится игрой Г₁ (см. лекцию 2). Определение решения этой игры называется принципом оптимального планирования с прогнозом состояния. Множество

называется множеством согласованных планов, а определение оптимального плана на множестве согласованных планов называется принципом оптимального согласованного планирования.

Возникает вопрос, в каких случаях принцип оптимального планирования с прогнозом состояний эквивалентен принципу оптимального согласованного планирования (в каких случаях оптимальный план будет выполнен). Наиболее известным и изящным достаточным условием согласованности является так называемое «неравенство треугольника» для функции штрафов:

.