5.4. Механизмы внутренних цен

Рассмотрим организационную систему, состоящую из центра и п агентов. Целевая функция i-го агента представляет собой разность между вознаграждением, выплачиваемым i-му агенту, и квадратичными затратами, которые зависят от действия агента:

.

Рассмотрим следующую задачу: предположим, что центр хочет, чтобы агенты выбрали действия, сумма которых равна заданной величине R, то есть должно выполняться следующее условие:

.

Например, центр хочет добиться выполнения подразделениями корпорации суммарного заказа R. Считается, что подразделения выпускают однородную продукцию, и в сумме надо добиться некоторого выпуска (данная задача в качестве примера рассматривалась в разделе 3.1, в настоящем разделе она описывается в рамках общей концепции исследования манипулируемости механизмов планирования). Это - первое ограничение.

Кроме того, центр хочет, чтобы заказ был выполнен с минимальными затратами (см. пример в разделе 3.1). То есть сумма затрат агентов должна быть минимальна: .

Но, центр имеет возможность управлять только путем выбора функции стимулирования, то есть зависимости вознаграждения агента от результатов его деятельности. Этот параметр , которыйназывается внутрифирменной ценой, один и тот же для всех агентов. Агенты, зная этот параметр, будут выбирать действия, которые максимизируют их целевые функции. Агенты в данном случае независимы друг от друга, так как их целевые функции зависят только от их индивидуальных действий, поэтому задачей центра является выбор внутрифирменной цены таким образом, чтобы затраты агентов были минимальны, было выполнено суммарное действие, и агенты выбирали действия, исходя из максимизации своих целевых функций.

Опишем поведение агента, вычислив точку максимума его целевой функции. Целевая функция агента вогнутая, имеет единственный максимум. Продифференцировав, найдем зависимость действия, выбираемого агентом, от параметра :. Получаем следующую задачу:

Обозначим . В этой задаче не остается никаких свободных переменных, так как ограничение однозначно определит , а значение, определенное из ограничения, даст значение целевой функции: а именно, должно быть равно отношению . Оптимальным значением целевой функции является величина. То есть центр имеет полную централизацию, агентам назначаются планы, и агентам выгодно их выполнять. Остается только понять, какие планы назначать агентам, чтобы достичь минимума затратагентов при выполнении программы суммарного выпуска. Решая эту задачу, получим следующее.

Запишем лагранжиан ( – множитель Лагранжа):

.

Тогда: .

Следовательно, , то есть оптимальное действие агента пропорционально его типу.

Таким образом, сформулированы две разные задачи и получены одинаковые решения. Первая задача: центру необходимо выбрать такую внутрифирменную цену, чтобы сумма затрат агентов была минимальна, при условии, что агенты выбирают свои действия из условия максимизации своих целевых функций. Вторая задача: найти оптимальный набор планов, таких, что сумма этих планов равна R, а сумма затрат агентов минимальна. В результате множитель Лагранжа в этой задаче – внутрифирменная цена . Интересно, что в данной модели оптимальной оказалась пропорциональная система стимулирования, и, более того, оптимальной оказалась система стимулирования, в которой ставки оплаты для всех агентов одинаковы (такая система стимулирования называетсяунифицированной). Ведь можно было бы каждому агенту назначать свою цену, но оптимальна одинаковая цена для всех агентов.

Известна следующая задача: выполняется некоторый проект и необходимо сократить критический путь (время выполнения проекта). Тогда тем агентам, кто выполняет критические операции, нужно дополнительно доплачивать, чтобы они сокращали время выполне­ния операций, а в сумме они должны сократить длительность проекта на заданную величину. Если участники проекта, выполняющие критические операции, имеют квадратичные затраты, а за единицу сокращения времени им платят , то получается такая же задача с аналогичным решением.

Естественно, результат, который мы получили: решения задач совпадают, оптимальным является система стимулирования, когда ставки всех агентов одинаковы (унифицированная система стимулирования) – справедлив только в рамках тех предположений, которые введены выше, а именно: в данной модели существенным является предположение о виде функций затрат агента (квадратичная функция). Это свойство степенных функций дает в экономико-математических моделях много хороших свойств:

1. оптимальность унифицированной системы стимулирования (оптимальность единой ставки оплаты);

2. возможность решения задач агрегирования, то есть, решая задачи минимизации затрат с данным набором агентов с характеристиками r_i, получили, что затраты на выполнение данного заказа имеют такой же вид, что и затраты одного агента с характеристикой H – все агенты могут быть заменены на одного агента, действие которого равно сумме их действий, и тип которого равен сумме их типов.

Такие свойства присущи квадратичным функциям, функциям типа Кобба-Дугласа: . Это можно доказать и для функций более общего вида: , где– возрастающая выпуклая функция, равная нулю в нуле.

Выше считалось, что все параметры известны, и задача решалась в рамках предположения, что, в частности, известны параметры r_i функций затрат агентов. Рассмотрим задачу, когда информацией о типах агентов r_i центр не обладает. Обозначим s_i - сообщение i-го агента о своем типе.

Центр на основании сообщений агентов решает задачу планирования, то есть определяет, какими должны быть вектор планов x(s) и значение внутрифирменной цены в зависимости от сообщенийагентов.

Первое, что приходит в голову - воспользоваться решениями задач, которые получены при полной информированности о функциях затрат агентов. То есть центр может подставить сообщения агентов в параметры механизмов, которые мы определили, решая задачу в условиях полной информированности, и назначать планы в соответствии с полученными механизмами.

Данный путь приведет к тому, что значение будет следующим: , план, назначаемый i-му агенту будет равен (подставляем вместо типов сообщения): .

Получили так называемый механизм внутренних цен, который похож на механизм пропорционального распределения ресурса. Но информация, сообщаемая центру, зависит от агентов. Рассмотрим их целевые функции, подставив в них зависимости иx_i(s) для того, чтобы понять, будет ли агенту выгодно выполнять назначенный план, и какую информацию ему будет выгодно сообщать:

.

Получили целевую функцию, которая зависит не от действий, а от сообщений агентов. Какие сообщения будет делать агент, чтобы максимизировать свою целевую функцию?

Будем искать максимум целевой функции i-го агента по его сообщению s_i. Для дифференцирования неудобен знаменатель, так как он тоже включает в себя s_i. Избавляются от этого «недостатка» введением гипотезы слабого влияния: предположим, что агентов достаточно много, то есть так много, что каждый агент своим сообщением практически не влияет на общий для всех агентов управляющий параметр – внутрифирменную цену. Знаменатель целевой функции тогда не будет зависеть от сообщения отдельного агента (сумма сообщений является «константой»). Получим, что , то есть сообщение достоверной информации выгодно всем агентам – механизм является неманипулируемым. Итак, для механизма внутренних цен выполняется:

1. требование сообщения агентами достоверной информации;

2. балансовое ограничение: сумма действий равна требуемой величине;

3. суммарные затраты агентов минимальны.