Матричний метод.

Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих ().

Нехай дана система трьох рівнянь з трьома невідомими.

Таку систему можна записати у формі матричного рівняння

,

де ,,

Нехай , тоді розв’язок системи знаходимо, помноживши обидві частини рівняння на матрицю:

.

Оскільки та, то матричне рівняння матиме розв’язок

.

Приклад: Розв’язати систему рівнянь

.

; ,.

.

Значить матриця є не виродженою і для неї можна знайти обернену матрицю .

Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці.

; ;;

; ;;

; ;.

Тоді

.

Зробимо перевірку обчислювань, перевіривши рівність

.

.

Таким чином, обчислення виконані вірно і тоді

.

Відповідь. ,,.

Метод Жордано-Гауса.

Метод Жордано-Гауса (метод послідовного виключення невідомих) застосовується для розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь для будь-якої кількості розв’язків у системи.

Приклад: Знайти розв’язок системи рівнянь

Побудуємо розширену матрицю системи із коефіцієнтів при невідомих та вільних членів. Приведемо цю матрицю до діагонального виду, зліва від риски одержимо одиничну матрицю.

Відповідь. ,,.

Приклад: Знайти розв’язок системи рівнянь

Відповідь. ,,.

Приклад: Знайти розв’язок системи рівнянь

В останньому рядку прийшли до суперечності

Значить система не має розв’язків.

Критерій сумісності системи рівнянь.

Нехай задана система лінійних рівнянь з невідомими, тобто систему вигляду

Разом з основною матрицею А розглядають також розширену матрицю :

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісності системи рівнянь).

Для того, щоб система лінійних рівнянь з невідомими була сумісною (мала розв’язок), необхідно та достатньо, щоб ранг розширеної матриці системи дорівнював рангу основної матриці цієї системи:

При розв’язанні системи можливі такі випадки:

1. Якщо ранг матриці системи дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок, оскільки. За правилом Крамера знаходимо.

2. Якщо , то система розв’язків не має.

Правила розв’язання довільної системи рівнянь:

1. Обчислюючи ранги основної і розширеної матриць системи, з'ясовують питання про її сумісність. Якщо система сумісна, то знаходять будь-який базисний мінор порядку.

2. Беруться рівнянь, з коефіцієнтів яких складений базисний мінор; решта рівнянь відкидається. Невідомі, коефіцієнти перед якими входять в базисний мінор, називають головними і залишають зліва, а інші невідомих називають вільними і їх переносять в праву частину рівнянь.

3. За правилом Крамера або методом Гауса знаходять вираз головних невідомих через вільні. Отримана рівність є загальним рішенням системи.

4. Надаючи вільним невідомим будь-які числові значення, знаходять частинні розв’язки початкової системи рівнянь.

Теоретичні питання.

1. Визначення матриці. Властивості матриці.

2. Дії над матрицями. Одинична матриця.

3. Визначники. Основні властивості визначників.

4. Обчислення визначників другого та третього порядку.

5. Мінори. Алгебраїчні доповнення визначника.

6. Розкладання визначника за елементами рядка чи стовпчика.

7. Обернена матриця. Обчислення оберненої матриці.

8. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАУ).

9. Метод Крамера розв’язання СЛАУ.

10. Матричний метод розв’язання СЛАУ.

11. Метод Жордано-Гауса розв’язання СЛАУ.

12. Теорема Кронекера-Капелі.