Дії над матрицями

Сумою двох матриць та однакової розмірності називають матрицю

.

Добутком матриці на число називають матрицю

,

тобто при множенні матриці на число необхідно всі елементи матриці помножити на це число.

Добутком матриць та В, узятих у вказаному порядку (A – перша, B – друга), за умови, що число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці, називають матрицю

,

елементи якої визначають за допомогою формули:

.

Елемент матриці добутку , що знаходиться на перетині

і-го рядка та к–го стовпця, дорівнює сумі добутків елементів і-го рядку першої матриці А на відповідні елементи к-го стовпця матриці В.

Розмірність матриці С дорівнює .

Існування добутку не передбачає обов’язкового існування добутку , причому

,

тобто добуток матриць не відповідає умові комутативності (на відміну від суми).

Властивості лінійних операцій над матрицями:

1).комутативність

2). сполученість

A+(B+C)=(A+B)+C

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Визначники

Число , яке ставиться у відповідність матриці розміру, називаєтьсявизначником (детермінантом) матриці . Зазвичай визначник позначають,,.

.

Якщо , тоді

.

Наприклад, .

Якщо , тоді

Для освоєння цього алгоритму обчислень доцільно користуватися «правилом трикутника», який ілюструється схемою

Приклад: обчислити визначник

Для обчислення визначника будь-якого порядку слід використовувати наступні властивості:

1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки замінити стовпчиками з тією ж нумерацією.

2. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або два стовпчики), то визначник змінює свій знак на протилежний.

3. Якщо визначник має два однакових рядки (або два стовпчика), то він дорівнює нулю.

4. Якщо деякий рядок (стовпчик) визначника складається лише з нулів, то визначник дорівнює нулю.

5. Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпчиків) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

6. Множення всіх елементів деякого рядка (стовпчика) визначника на будь-яке число є рівнозначним множенню визначника на число.

7. Якщо кожен елемент деякого рядка (стовпчика) визначника є сумою двох доданків, то визначник можна записати у вигляді суми двох визначників. У першому з них на місці кожної суми залишається лише перший доданок, а в другому визначнику лише другий доданок; при цьому всі інші елементи визначника залишаються без зміни.

8. Значення визначника не зміниться, якщо до елементів деякого рядка (стовпчика) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпчика), помножених на одне й те ж число .

Мінором елементаматриціназивається визначник, який утворений шляхом викреслювання-го рядку та-го стовпчика.

Алгебраїчним доповненням елементаназивається мінор цього елемента, взятий зі знаком, який обчислюється за правилом

.

Наприклад, для визначника

,

.

9. (Теорема Лапласа) Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпчика) на відповідні їм алгебраїчні доповнення

або

.

Приклад:

(-2) (-4)

.

«Стрілка» (-2) (-4) виходить з першого стовпчика та вказує на другий та третій.

Це означає, що, якщо виконуються перетворення, елементи першого стовпчика не змінюються. До елементів третього стовпчика додаються відповідні елементи першого стовпчика, помножені на число (-2); до елементів третього другого стовпчика додаються відповідні елементи першого стовпчика, помножені на число (-4).

Після виконання вказаних дій у першому рядку всі елементи, крім першого, який дорівнює одиниці, будуть нулями. При розкладанні визначника за елементами першого рядка, одержуємо визначник другого порядку (на порядок нижче, ніж вихідний). Такий процес має назву зниженням порядку визначника.

Перевіримо справедливість обчислювання визначника, розклавши його за елементами другого стовпчика.

.

Відзначимо, що одержаний після першого перетворення визначник можна розкласти не тільки за другим стовпчиком, але й за будь-яким іншим стовпчиком чи рядком. Крім того, визначник можна знайти, якщо привести його до діагонального виду. Такий визначник обчислюється як добуток всіх його елементів.

.

Цей спосіб використовується при розв’язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь.