Дисциплина «Теория автоматического управления»

1. Статические и динамические характеристики типовых соединений элементов.

Алгоритмическая структура любой автоматической системы управления представляет собой комбинацию трех типовых соединений элементов: последовательного, параллельного и встречно-параллельного (охват обратной связью). Если эти соединения состоят из элементов направленного действия, то каждое соединение может быть заменено одним элементом, статические и динамические свойства которого эквивалентны свойствам соединения. При последовательном соединении (рисунок 2.6, а) выходная величина каждого предыдущего элемента является входным воздействием для последующего элемента.

Рисунок 2.6 - Типовые соединения линейных элементов:

последовательное (а);

параллельное (б);

встречно — параллельное (с обратной связью) (в)

Если элементы линейны и в статике характеризуются передаточными коэффициентами k_i то передаточный коэффициент эквивалентного элемента равен

k_э=y/x= (1)

Таким образом, общий передаточный коэффициент последовательно соединенных линейных элементов равен произведению передаточных коэффициентов этих элементов. Размерность общего передаточного коэффициента равна произведению размерностей коэффициентов.

Параллельным соединением называют такое соединение, при котором на вход всех элементов поступает одно и то же воздействие, а их выходные величины (с соответствующими знаками) суммируются (рисунок 2.6, б).

Отсюда следует, что эквивалентный передаточный коэффициент параллельно соединенных линейных элементов равен сумме передаточных коэффициентов элементов:

(2)

Отметим, что суммирование сигналов y_i в одной точке возможно лишь в том случае, если они имеют одинаковую размерность.

Встречно-параллельным соединением двух элементов (соединением с обратной связью) называют такое соединение, при котором выходной сигнал первого элемента поступает на вход второго, а выходной сигнал второго элемента с соответствующим знаком суммируется с общим входным сигналом (рисунок 2.6, в). Первый элемент называют элементом прямой цепи. Второй элемент называют элементом обратной связи.

В зависимости от знака сигнала обратной связи различают положительные и отрицательные обратные связи. Рассмотрим статические свойства соединения с обратной связью. Пусть элементы прямой и обратной связи линейны и характеризуются коэффициентами k_п и k_о.с Тогда согласно определению понятия обратная связь можно записать уравнения:

прямой цепи: y=k_пx_п (3); обратной связи: y_o.c= k_o.cy (4); и узла суммирования: (5)

Подставляя выражение (4) в (5), а затем выражение (5) в (3), получим уравнение статики всего соединения с обратной связью, и эквивалентный передаточный коэффициент равен k_э=k_п /(1k_пk_o.c), (6)

где знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «–» положительной. Формула (6) выражает одно из фундаментальных правил ТАУ:

эквивалентный передаточный коэффициент элемента, охваченного отрицательной обратной связью, равен коэффициенту прямой цепи, разделенному на единицу плюс произведение коэффициентов прямой и обратной связи.

Размерность эквивалентного передаточного коэффициента равна размерности коэффициента k_п. Произведение коэффициентов k_п k_о.c всегда безразмерно.

Когда статические характеристики отдельных элементов нелинейны, нельзя применять формулы (1), (2), (6) и эквивалентные характеристики соединений можно определить только графическими построениями.

Выражения для эквивалентных передаточных функций типовых соединений можно получить так же, как выражения (1), (2) и (6) для передаточных коэффициентов.

Эквивалентная передаточная функция последовательного соединения из п элементов равна произведению п передаточных функций элементов:

. (7)

При параллельном соединении п элементов эквивалентная передаточная функция равна сумме п передаточных функций элементов:

. (8)

Наконец, для соединения с обратной связью эквивалентная передаточная функция, аналогично (6), равна

W_э(s) =W_п(s)/[1W_п(s) W_о.с(s)] , (9)

где знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «–» — положительной.